VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước: Phương pháp giải. Cho hai điểm A, B và mặt phẳng [3]. Khi đó mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng [3] có m = AB. Ví dụ 21. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[3; 1; -1], B[2; -1; 4] và vuông góc với mặt phẳng [8]: 20 – 3z – 1 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là -1[x – 3] + 13 [9 – 1] + 5[x + 1] = 0, z – 13 – 5x + 5 = 0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 36. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[-2; -1; 3], B[4; -2; 1] và vuông góc với mặt phẳng [8] : 2c + 3g – 2x + 5 = 0. Ta có AB = [6; -1; -2] và m [8]= [2; 3; -2]. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 8 [x + 2] + 8[x + 1] + 20[2 – 3] = 0 , 2x + 2y + 52 – 9 = 0. Bài 37. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[2; -1; 3], B[-4; 7; -9] và vuông góc Với mặt phẳng [8]. AB = [-6; 8; -12] và CB = [3; 4; -8]. Do đó [a] = AB, CB = [-16; 584; -48]. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 4x + 21y + 122 – 23 = 0.
Với Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
1. Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→
2. Vì Δ ⊥[α] nên [α] có Vecto pháp tuyến là nα →=uΔ →
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến nα→.
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→=[1;2;1]
Mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng [d] nên [P] có một vecto pháp tuyến là nP→=ud→= [1;2;1]
Khi đó phương trình mặt phẳng [P] đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:
x +2y +z =0
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[2; 5; 1]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oy
Hướng dẫn:
Trục Oy có vecto chỉ phương là uOy→=[0;1;0]
Do mặt phẳng [P] vuông góc với trục Oy nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→= uOy→=[0;1;0].
Phương trình mặt phẳng [P] cần tìm là:
y -5 =0
Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A [2; -1; 1], B[1; 0; 4] và C[0; -2; -1]. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Hướng dẫn:
Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→= BC→=[-1; -2; -5]
Do mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là n→= BC→=[-1; -2; -5]
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-1[x -2] -2[y +1] -5[z -1] =0
⇔ x +2y +5z -5 =0
Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M [-2; 3; 1]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn:
Vecto chỉ phương của đường thẳng [d] là u→ =[-2;1;3]
Do đường thẳng [d] vuông góc với mặt phẳng [P] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ =[-2;1;3]
Phương trình mặt phẳng [P] đi qua M[-2; 3; 1] và có vecto pháp tuyến
n→ =[-2;1;3] là:
-2[x +2] +y -3 +3[z -1] =0
⇔ -2x +y +3z -10 =0
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!
Phương trình mặt phẳng trong không gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với \[A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\]
Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:
Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\]
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \[AA’ + BB’ + CC’ = 0\]
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho điểm M[a, b, c] và mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M tới [P] được xác định như sau:
\[d[A, [P]] = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\]
Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
Vì mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\]
Mặt phẳng [P] có vector pháp tuyến \[\vec{n}[A, B, C]\]
Khi đó phương trình mặt phẳng [P]: \[A[x-x_{0}] + B[y-y_{0}] + C[z-z_{0}] = 0\]
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M [3;1;1] và có VTPT \[\vec{n} = [1; -1; 2]\]
Cách giải:
Thay tọa độ điểm M và VTPP \[\vec{n}\] ta có:
[P]: \[[1][x – 3] + [-1][y – 1] + 2[z – 1] = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\]
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Vì mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng [P] có 1 cặp vector chỉ phương là \[\vec{AB} ; \vec{AC}\]
Khi đó ta gọi \[\vec{n}\] là một vector pháp tuyến của [P], thì \[\vec{n}\] sẽ bằng tích có hướng của hai vector \[\vec{AB}\] và \[\vec{AC}\]. Tức là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\]
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng A[1,1,3]; B[-1,2,3]; C[-1;1;2]
Cách giải:
Ta có: \[\vec{AB} = [-2;1;0]; \vec{AC} = [-2,0,-1] \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\]
Suy ra mặt phẳng [P] có VTPT là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\] và đi qua điểm A[1,1,3] nên có phương trình:
\[[-1][x – 1] – 2[y – 1] + 2[z – 3] = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\]
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và song song với mặt phẳng [Q]: Ax + By + Cz + m =0
Vì M thuộc mp[P] nên thế tọa độ M và pt [P] ta tìm được M.
Khi đó mặt phẳng [P] sẽ có phương trình là:
\[A[x – x_{0}] + B[y – y_{0}] + C[z – z_{0}] = 0\]
Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1;-2;3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 3y + z + 5 = 0
Cách giải:
Vì [P] song song với [Q] nên VTPT của [P] cùng phương với VTPT của [Q].
Suy ra [P] có dạng: 2x – 3y + z + m = 0
Mà [P] đi qua M nên thay tọa độ M [1;-2;3] ta có:
\[2.1 + [-3].[-2] + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\]
Vậy phương trình [P]: 2x – 3y + z – 11 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và đường thẳng d.
Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \[\vec{MA}\] và VTCP \[\vec{u}\], từ đó tìm được VTPT \[2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\].
Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng [P]
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [3;1;0] và đường thẳng d có phương trình: \[\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\]
Cách giải:
Lấy điểm A [3;-1;-1] thuộc đường thẳng d.
Suy ra \[\vec{MA} [0; -2; -1]\] và VTCP \[\vec{u} [-2; 1; 1]\]
Mặt phẳng [P] chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \[\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = [-1; 2; 4]\]
Vậy phương trình mặt phẳng [P]: \[-1[x – 3] + 2[y – 1] – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\]
Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha