Các công thức về tổ hợp
Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.
1. Tổ hợp không lặp
Cho tậpAgồmnphần tử. Mỗi tập con gồmk [1≤ k ≤ n]phần tử củaAđược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức.
Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau.
Công thức của tổ hợp không lặp2. Tổ hợp lặp
Cho tậpA = {a1; a2; ….; an}và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử, trong đó, mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Công thức của tổ hợp lặpTừ 1 3 5 7 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 3
5 ngày trướcCách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị cực hay có lời giải
Cho tập hợp X gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có công thức:
Pn = n!
Với những bài toán cấu tạo số ta cần chú ý:
• Số chẵn là số chia hết cho 2 và chữ số hàng đơn vị là: 0; 2; 4; 6; 8.
• Số lẻ là số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 3; 5; 7; 9.
• Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.
• Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.
• Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
• Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
• Một số chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4.
Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1,4, 5; 8; 9?
A.20 B.120 C.60 D.15
Đáp án : B
Mỗi cách lập số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là một hoán vị của tập {1; 4; 5; 8; 9}.
⇒ Số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là:
P5 = 5!= 120 cách .
Ví dụ 2 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 6; 7. Từ 5 chữ số này, ta lập các số chẵn có 5 chữ số khác nhau. Số các số có thể lập được là:
A.96 B.36 C.32 D.48
Đáp án :
Giả sử thỏa mãn đầu bài là a1a2a3a4a5.
+ Chọn a5 có 2 cách: a5∈ {2; 6}.
+ Mỗi cách chọn a1a2a3a4 là một hoán vị của tập {1;2;3; 6; 7}\ {a5}có 4 phần tử.
⇒ Số cách chọn a1a2a3a4 là 4!.
+ Theo quy tắc nhân có 2. 4!= 48 số thỏa mãn.
Ví dụ 3 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 7, 8 . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số trên?
A.120 B.96 C.24 D.28
Đáp án : B
Gọi số cần tìm có dạng abcde, khi đó
+ Có 4 cách chọn chữ số a [trừ chữ số 0].
+ Số cách chọn bcde là 4! [ sau khi chọn a ta còn 4 số còn lại]
Vậy có tất cả 4.4! = 96 số cần tìm.
Ví dụ 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?
A.16 B.18 C.20 D.14
Đáp án : A
Gọi số cần tìm có dạng [abc] ̅ với a;b;c∈{0;1;2;3;4;5}.
Vì số cần tìm chia hết cho 9 nên suy ra tổng các chữ số: [ a+b+c]⋮9.
Khi đó a; b; c∈{ [ 0;4;5];[ 2;3;4];[ 1;3;5]}.
Trường hợp 1 :
Với a; b; c∈[0;4;5]
Ta có 2 cách chọn a [ vì a khác 0] . Khi đó ta có 2 cách chọn b và 1 cách chọn c.
suy ra có 2.2.1 = 4 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2 :
Với a;b;c∈[2;3;4] suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 3 :
Với a; b; c∈[ 1;3; 5] suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy có thể lập được: 4+ 6+6= 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 5 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
A.410 B.480 C.500 D.512
Đáp án : B
Từ 6 số đã cho ta lập được: 6!= 720 số có 6 chữ số khác nhau.
Giả sử hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau. Ta coi hai số này là một phần tử X.
+ Hoán đổi vị trí của hai số này ta có: 2!= 2 cách.
+ Xếp phần tử X và 4 số còn lại vào 5 vị trí ta có: 5!= 120 cách.
⇒ có 2. 120 = 240 cách sao cho hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau.
Suy ra: có 720- 240 = 480 số thỏa mãn đầu bài.
Ví dụ 6 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
A.96 B.98 C.196 D.192
Đáp án : D
+ Ta coi hai chữ số 2 và 3 là phần tử x. Xét các số: abcde trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; x; 4; 5}.
+ Vì a khác 0 nên có 4 cách chọn a.
Với mỗi cách chọn a; ta có: 4! Cách chọn bcde
⇒ Có 4. 4!= 96 số thỏa mãn điều kiện trên .
+ Khi ta hoán đổi vị trí của 2; 3 trong x ta được hai số khác nhau.
Suy ra: có 96. 2= 192 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 7 : Từ các chữ số {0, 2, 3,8,9} lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
A.168 B.184 C.214 D.254
Đáp án : A
Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn là abcde.
+ vì a≠0 nên có 7 cách chọn a.
+ Số cách chọn bcde là số các hoán vị của 4 phần tử còn lại. Nên số cách chọn bcde là 4!.
⇒ số các số thỏa mãn là: 7. 4!= 168 số
Ví dụ 8 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,8 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 luôn đứng chính giữa.
A.5040 B.2520 C.720 D.1440
Đáp án : C
+ Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn là abc1def
+ Số cách chọn [a,b,c,d,e,f] là số các hoán vị của tập có 6 phần tử
⇒ số các số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 6!= 720
Câu 1 : Cho tập x = {1;2;3;4;5;6;7;8} .Từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.
A.50480 B.36060 C.20840 D.40320
Đáp án : D
Số các số tự nhiên được lập từ tập X đôi một khác nhau là một hoán vị của 8 phần tử. Do đó số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là 8!=40320 số.Câu 2 : Cho tập X= { 1; 2; 3; 4;6; 7; 8; 9}. Từ tập X ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn và có 8 chữ số khác nhau?
A.2016 B.10860 C.20160 D.Đáp án khác
Đáp án : C
Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8
Do n chẵn nên a8 ≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn a8.
Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!.
Theo quy tắc nhân có 4.7!=20160 số thỏa mãn.
Câu 3 : Cho tập A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 8 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
A.12980 B.15120 C.21980 D.16820
Đáp án : B
Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8
Do n lẻ và không chia hết cho 5 nên a8≠{3;7;9} có 3 cách chọn a8.
Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!.
Theo quy tắc nhân có 3.7!=15120 số thỏa mãn.
Câu 4 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 ?
A.720 B.120 C.600 D.144
Đáp án : C
Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập được từ các chữ số đã cho là 6!.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà bắt đầu bằng chữ số 1 bằng số cách sắp xếp 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6 vào 5 vị trí sau là 5!.
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 6! – 5!= 600
Câu 5 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?
A.600 B.720 C.480 D.360
Đáp án : A
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn là: n=a1a2...a6
+ Có 5 cách chọn a1.
+ Số cách chọn n=a2a3...a6 là số hoán vị của tập 5 phần tử. Nên số cách chọn : n=a2a3...a6 là 5!.
Theo quy tắc nhân; có 5.5!= 600 số thỏa mãn.
Câu 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 6, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
A.240 B.480 C.960 D.1440
Đáp án : B
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6.
+ Do số này chia hết cho 2 nên a6≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn.
+ Sau khi chọn a6; số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập 5 phần tử . Nên số cách chọn : n=a1a2...a5 là 5!
⇒ Số các số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn đầu bài là: 4.5! = 480
Câu 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
A.98 B.114 C.208 D.216
Đáp án : D
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6.
Trường hợp 1. Nếu a6 = 0.
Khi đó số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập có 5 phần tử
⇒ số các số có 5 chữ số thỏa mãn trường hợp này là: 5!= 120
Trường hợp 2. Nếu a6 = 5.
Khi đó có 4 cách chọn a1 và có 4! Cách chọn n=a2a3a4a5
⇒ trường hợp 2 có 4.4!= 96 số thỏa mãn.
Kết hợp hai trường hợp có tất cả: 120+ 96= 216 số thỏa mãn.
Câu 8 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau?
A.3600 B.1440 C.2880 D.5040
Đáp án : A
- Từ 7 số đã cho ta lập được: 7!= 5040 số có 7 chữ số đôi một khác nhau .
- Ta tính số các số có 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số đã cho sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau..
+ Coi hai số chẵn 2 và 4 là một phần tử X.
+ Từ phần tử X và 5 số còn lại ta lập được 6! Số có 6 chữ số.
+ Hoán đổi vị trí của hai số 2 và 4 ta có: 2! Cách
⇒ có 6! .2!= 1440 số có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số 2; 4 liền nhau.
Suy ra: có 5040 – 1440= 3600 số thỏa mãn đầu bài.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Từ các số 1, 3, 4, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà chữ số đầu tiên là chữ số 3?
A. 96.
B. 60.
C. 24.
D. 120.
Đáp án D
Gọi số tự nhiên thỏa mãn đề bài là
Đáp án đúng là D
Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?
Bài tập trắc nghiệm 45 phút Bài toán dùng quy tắc đếm, cộng và nhân - Toán Học 11 - Đề số 3
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác cùng bài thi.
-
Từ thành phố A tới thành phố B có 4 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C qua B chỉ một lần.
-
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 2? Kết quả cần tìm là:
-
Có 5 quyển sách khác nhau gồm 3 quyển sách Văn và 2 quyển sách Toán. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách trên lên kệ sách dài [xếp hàng ngang] sao cho tất cả quyển sách cùng môn phải đứng cạnh nhau?
-
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau chia hết cho 3?
-
Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên cóchữ số khác nhau ? -
Một tổ gồm 7 nam 4 nữ xếp thành một hàng dọc trong giờ thể dục. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để nữ luôn đứng thành 2 cặp không cạnh nhau?
-
Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?
-
Có 5 nam và 6 nữ xếp thành một hàng dọc sao cho đầu hàng và cuối hàng luôn là nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
-
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được: [a] 1512 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 2. [b] 1745 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 3. [c] 630 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5. Trong các phát biểu trên, số phát biểu đúng là:
-
Một hộp đựng
quả cầu xanh vàquả cầu trắng khác nhau. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúcquả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để đượcquả cầu xanh vàquả cầu trắng. -
Từ các chữ số
,,,,,,có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số? -
Từ hai chữ số
vàlập được bao nhiêu số cóchữ số sao cho không có hai chữ sốnào đứng cạnh nhau. -
Có bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số dạngthỏa,,là độ dàicạnh của một tam giác cân [ kể cả tam giác đều ]? -
Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bằng n cách, phương án B có thể thực hiện bằng m cách không trùng với cách nào của phương án A. Khi đó:
-
Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên cóchữ số [không nhất thiết phải khác nhau] ? -
Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không lớn hơn 788? -
Có bao nhiêu số có hai chữ số mà số đứng trước lớn hơn số đứng sau:
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng
trong đó. -
Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ
quần-áo-cà vạtkhác nhau? -
Một hình lập phương có cạnh
. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thànhhình lập phương nhỏ có cạnh. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ? -
Cho tập hợp
. Có thể lập bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau từ A? -
Có bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số dạngthỏa,,là độ dàicạnh của một tam giác cân [ kể cả tam giác đều ]? -
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn vào một dãy gồm 6 chiếc ghế xanh thành hàng ngang?
-
Từ các số 1, 3, 4, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà chữ số đầu tiên là chữ số 3?
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
-
Hai ngăn của một giá sách có 240 cuốn sách. Nếu chuyển 40 cuốn sách ở ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ở ngăn dưới lại nhiều hơn ngăn trên 24 cuốn. Số sách lúc đầu ở ngăn trên là:
-
Cho $\overline {ab} + \overline {ba} = 132$ và a – b = 4. Tìm $\overline {ab} .$
-
Tổng của hai số lẻ bằng 98. Tìm hai số đó, biết giữa chúng có 4 số chẵn.
-
Tổng của hai số chẵn bằng 58. Tìm hai số đó, biết giữa chúng có 3 số lẻ.
-
Cho hai số, biết tổng của chúng bằng 467 và nếu thêm vào số bé 13 đơn vị thì nó vẫn nhỏ hơn số lớn 50 đơn vị. Số lớn là:
-
Cho hai số, biết số lớn hơn số bé 48 đơn vị và biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì được hai số có tổng bằng 335. Số lớn là:
-
Vào dịp nghỉ hè, ba bạn An, Nam, Sơn rủ nhau mua bi. Số bi An và Nam mua là 33 viên, số bi Nam và Sơn mua là 26 viên, số bi Sơn và An mua là 29 viên. Tìm số bi của Sơn.
-
Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn:
$2\,\,015\,\,000 < 100 \times x < 2\,\,016\,\,000$? -
Tìm x, biết: $\left[ {x + 40} \right] \times 15 = 75 \times 12.$
-
Tính giá trị của biểu thức sau:
$A = \left[ {15\,\,000 - 1110:30 \times 300} \right] \times \left[ {1665:15 - 1221:11} \right] + 1.$