§7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRƯNG TRựC CỦA MÔT ĐOAN THANG A. Tóm tốt kiến thức Định nghĩa đường trung trực Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó. Trong hình 3.67, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Hình 3.67 Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d. Định lí 1 Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thảng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Định lí 2. Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. MA = MB => M thuộc đường trung trực của AB. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho tam giác ABC [AB = AC; A > 90° ]. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt các cạnh này tương ứng tại I, K và cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì? Gọi o là giao điểm của ID và KE. Chúng minh AO± BC. Giải, [h.3.68] Vì , ID là đường trung trực cua cạnh AB nên DA = DB do đó tam giác ABD cân tại D. Vì EK là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC do đó tam giác AEC cân tại E. b] Do o thuộc đường trung trực của AB nên OA = OB. Mặt khác o thuộc đường trung trực của AC suy ra OA = oc. Vậy OB = oc hay o thuộc đường trung trực của BC. Mà AB - AC nên A thuộc đường trung trực của BC, do đó AO là đường trung trực của BC suy ra AO ± BC. Nhận xét Bài toán đã vận dụng tính chất điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu đoạn thẳng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Bài toán sẽ khó hơn nếu chỉ có câu b. c. Hương dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa p ' s. X / V / X / X /ị X / X / X / X / X X ✓ X z X z X z X z \ z X z ■-X . Z-- _x z Q Bài 44. Giải. Theo định lí thuận ta có MB = 5cm. Bài 45. Giải, [h.3.69] PM = PN => p thuộc đường trung trực của đoạn thảng MN. QM = QN =>Q thuộc đường trung trực của đoạn thảng MN. M Vậy PQ là đường trung trực của MN. Nhận xét. Ta có thêm phương pháp chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng: Nếu hai điểm p, Q phân biệt cùng cách đều hai điểm A, B thì đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thắng AB. Bài 46. Gidi. [h.3.70] AB = AC => A thuộc đường trung trực của đoạn thắng BC. DB = DC => D thuộc đường trung trực của đoạn thảng BC. EB = EC => E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC. E Hình 3.70 Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng. B Bài 47. Bài 48. Nhận xét. Chúng ta có thêm một phương pháp chứng minh ba điểm thảng hàng: Ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì thẳng hàng. Giai, [h.3.71] M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB suy ra MA = MB. N thuộc đường trung trực cúa đoạn thẳng AB suy ra NA = NB. Vậy AAMN = ABMN [c.c.c]. Gieii. [h.3.72] I thuộc đường trung trực cúa đoạn thẳng ML suy ra IM = IL. Do đó IM + IN = IL + IN >LN [theo bất đẳng thức tam giác]. Dấu "=" xảy ra khi I là giao điểm của xy Hình 3.71 Bài 49. MA + MB = ME + MB > BE [1]. với LN. Nếu M trùng với c thì MA + MB = CA + CB = CE + CB = BE [2]. So sánh [1] và [2] ta thấy điểm c ở vị trí là giao điểm của bờ sông với đường thẳng nối điểm đối xứng của A qua sông với B thì đường ống dẫn nước phải dùng là ngắn nhất. Bài 50. Giải, [h.3.74] Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm dân cư A và B cắt đường quốc lộ tại c, đó là địa điểm - cần tìm. Thật vậy c thuộc đường trung trực của AB nên CA = CB. Bài 51. Giải, [h.3.75] Chứng minh cách vẽ đó là đúng: PA = PB => p thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. AC = BC => c thuộc đường trung trực cứa đoạn thắng AB. Vậy PC là đường trung trực của đoạn thẳng AB, suy ra PC ± AB, tức là •PC 1 d. Một cách khác [h.3.76]: Lấy điểm A bất kì thuộc d, vẽ đường tròn [A; AP]. Lấy điểm B bất kì thuộc d, vẽ đường tròn [B; BP]. Hai đường tròn cắt nhau ở điểm thứ hai Q. Đường thắng PQ vuông góc với d. Thật vậy: AP = AQ => A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ. BP = BQ => B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Vậy AB là đường trung trực của PQ suy ra PQ 1 AB. D. Bài tạp luyện thêm c Cho tam giác ABC cân tại A. về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác đều ABD, ACE. a] Chứng minh BE = CD. Kẻ đường phân giác AF của tam giác ABC. Chứng minh BE, CD, AF đồng quy. Cho đoạn thẳng BC có I là trung điểm. Trên đường trung trực của BC lấy điểm A khác I. Chứng minh A ABI = AACI; Kẻ IH _L AB, IK ± AC. Chứng minh tam giác AHK cân; Chứng minh KH // BC. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD± AC; CE-L AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DE. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH ± BC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Chứng minh BE = CI. Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt AC tại M. Chứng minh AM + BM = AC. Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô AE = AD* Hình 3.77 => A ABE = A ACD [c.g.c] =í> BE = CD. b] AABE= AACD=>cỊ = Bj . 1 Mà tam giác ABC cân nên ABC = ACB => B2 = c2 => tam giác ABO cân => OB = oc o thuộc đường trung trực của BC [1]. Tam giác ABC có AF là đường phân giác =>ẠF là đường trung trực [2]. Từ [1] và [2] suy ra ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy. [h.3.78] A AB] = AACI [c.g.c].' Tam giác ABC cân [AB = AC] => A. = A-> . A => AH = AK => tam giác AHK cân tại A. AH = AK => A thuộc đường trung trực của HK. IH = IK => I thuộc đường trung trực cúa HK. =7 AI là đường trung trực của HK => AI ± HK . Mặt khác, AI là đường trung trực của BC => AI ± BC [h.3.79] Tam giác BDC có BDC = 90°; BM = MC nên DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền do đó DM = BC . Tam giác BEC có HK // BC. M Hình 3.79 BEC = 90° và BM = MC nên EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra EM = -^-BC . Do đó DM = EM, vậy M thuộc đường trung trực của DE. Nhận XiT'Muon chứng minh một điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thảng, ta chỉ cần chứng minh điểm đó cách đều hai đầu đoạn thẳng đó. [h.3.80] AABM = AICM [c.g.c] =>AB = CI [1]. AE 1BH, HA = HE nén BH là đường trung trực của đoạn thắng AE BE = AB [2]. Từ[l]và [2] ta CÓ BE = CI. [h.3.81] M thuộc trung trực của BC => BM = MC. Do đó AM + BM = AM + MC =>AM + BM = AC.
Tiếp tục ở trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về đường trung trực là gì? Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tam giác,..Các dạng bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé
Đường trung trực là gì?
Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Tính chất đường trung trực
1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
2. Tính chất đường trung trực của tam giác
Tham khảo thêm:
Các dạng bài tập đường trung trực thường gặp
1. Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Phương pháp: Để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa về đường trung trực.
Ví dụ 1: Chứng minh đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
P, Q là giao điểm của hai cung tròn tâm M, N có cùng bán kính nên:
PM = PN [= bán kính cung tròn].
QM = QN [= bán kính cung tròn].
Suy ra P và Q cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Vậy PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
2. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp: Sử dụng định lý: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho: BE = AB. Chứng minh rằng: AD = DE.
Xét tam giác ABD và tam giác EBD, có:
BD là cạnh chung
BE = AB [đề bài đã cho]
góc ABD = góc DBE [vì BD là tia phân giác của góc B]
=> Tam giác ABD = tam giác EBD [c.g.c]
=> AD = DE [điều phải chứng minh].
3. Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
Ví dụ: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC.
a] Hãy so sánh MA + MB với BC.
b] Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.
a] Gọi H là giao điểm của a với AC
∆MHA = ∆MHC [c.g.c] => MA = MC.
Do đó:
MA + MB = MC + MB.
Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC [chứng minh được NA = NC].
Nếu M không trùng với N thì:
MA + MB = MC + MB > BC [bất đẳng thức trong ∆BMC].
Nếu M trùng với N thì :
MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.
Vậy MA + MB ≥ BC.
b] Từ câu a] ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất.
4. Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp:
5. Dạng 5: Bài toán đường trung trực trong tam giác cân
Phương pháp: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này
Ví dụ : Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lơi giải:
Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC
⇒ A thuộc đường trung trực của BC.
Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC
⇒ D thuộc đường trung trực của BC
Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC
⇒ E thuộc đường trung trực của BC
Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E thẳng hàng
6. Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông
Phương pháp: Trong tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:
EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể nắm được đường trung trực là gì và các tính chất để vận dụng vào làm bài tập nhé
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Đường trung bình của tam giác, hình thang chi tiết từ A – Z [VD minh họa]
Cường độ dòng điện là gì? Ký hiệu, đơn vị, công thức tính từ A – Z