- Bài 60
- Bài 61
- Bài 62
- Bài 63
- Bài 64
- Bài 65
- Bài 66
- Bài 67
Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.
Bài 60
Giả sử \[\int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}} = \ln c\]. Giá trị của c là
[A] \[9\]; [B] \[3\];
[C] \[81\]; [D] \[8\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \int\limits_1^5 {\frac{{\frac{1}{2}\left[ {2x - 1} \right]'dx}}{{2x - 1}}} \\
= \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{d\left[ {2x - 1} \right]}}{{2x - 1}}} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5\\
= \frac{1}{2}\left[ {\ln 9 - \ln 1} \right] = \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3\\
\Rightarrow \ln c = \ln 3 \Rightarrow c = 3
\end{array}\]
Chọn [B].
Chú ý:
Có thể sử dụng công thức làm nhanh\[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\]
Bài 61
Giá trị của \[\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \] là
\[\left[ A \right]\,{e^4}\]; \[\left[ B \right]\,{e^4} - 1;\]
\[\left[ C \right]\,4{e^4};\] \[\left[ D \right]\,3{e^4} - 1;\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}\left[ {2x} \right]'dx} \\
= \int\limits_0^2 {{e^{2x}}d\left[ {2x} \right]} = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2\\
= {e^4} - {e^0} = {e^4} - 1
\end{array}\]
Chú ý: Có thể sử dụng công thức làm nhanh\[\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\]
\[\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} =2.{\dfrac{{e^{2x}}}{2}}|_0^2 = {e^4} - 1\]
Chọn [B].
Bài 62
Giá trị của \[\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left[ {x + 1} \right]}^3}dx} \]là:
\[\left[ A \right]\, - {7 \over {10}};\] \[\left[ B \right]\, - {6 \over {10}};\]
\[\left[ C \right]\,{2 \over {15}};\] \[\left[ D \right]\,{1 \over {60}}.\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{& \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left[ {x + 1} \right]}^3}dx} \cr &= \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}\left[ {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right]dx} \cr & = \int\limits_{ - 1}^0 {\left[ {{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + {x^2}} \right]dx} \cr &= \left[ {{{{x^6}} \over 6} + {{3{x^5}} \over 5} + {{3{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}} \right]|_{ - 1}^0 \cr &= 0 - \left[ {\frac{1}{6} - \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}} \right]= {1 \over {60}} \cr} \]
Chọn [D].
Bài 63
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \[y = 4x\] và đồ thị hàm số \[y = {x^3}\] là:
[A] \[4\]; [B] \[5\];
[C] \[3\]; [D] \[3,5\].
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]-g[x]} \right|dx} \]
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
\[\left\{ \matrix{
{x^3} = 4x \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Với \[x \in \left[ {0;2} \right]\] \[ \Rightarrow 4x - {x^3} = x\left[ {4 - {x^2}} \right] \ge 0\]
\[ \Rightarrow \left| {4x - {x^3}} \right| = 4x - {x^3}\]
Diện tích cần tìm là: \[S = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^3}} \right|dx} \] \[= \int\limits_0^2 {\left[ {4x - {x^3}} \right]dx} \] \[= \left[ {2x^2 - {{{x^4}} \over 4}} \right]|_0^2 \] \[8-4= 4\]
Chọn [A].
Bài 64
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \[y = 8x, y = x\] và đồ thị hàm số \[y = {x^3}\] là:
[A] \[12\]; [B] \[15,75\];
[C] \[6,75\]; [D] \[4\]
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]-g[x]} \right|dx} \]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {x^3} = 8x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2\sqrt 2 \hfill \cr
x = - 2\sqrt 2 \,\left[ \text {loại} \right] \hfill \cr} \right. \cr
& {x^3} = x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 1\,\left[ \text {loại}\right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[\eqalign{
& S =\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left[ {8x - {x^3}} \right]} dx\cr &-\int\limits_0^1 {\left[ {x - x^3} \right]} dx \cr
& =\left[ {4{x^2} - {{{x^4}} \over 4}} \right]|_0^{2\sqrt 2 } \cr &-\left[{1 \over 2}{x^2}-{1 \over 4}{x^4}\right]|_0^1 \cr &= \left[ {32 - 16} \right] - \left[ {{1 \over 2} - {1 \over 4}} \right] \cr &= 16 - {1 \over 4} = 15,75\cr} \]
Chọn [B].
Bài 65
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \[y=2x\] và đồ thị hàm số \[y = {x^2}\]là:
\[\left[ A \right]\,{4 \over 3};\] \[\left[ B \right]\,{3 \over 2};\]
\[\left[ C \right]\,{5 \over 3};\] \[\left[ D \right]\,{{23} \over {15}}.\]
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]-g[x]} \right|dx} \]
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Với \[x \in \left[ {0;2} \right]\] thì \[2x - {x^2} \ge 0\] \[ \Rightarrow \left| {2x - {x^2}} \right| = 2x - {x^2}\]
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx}= \int\limits_0^2 {\left[ {2x - {x^2}} \right]dx}\] \[ = \left[ {{x^2} - {{{x^3}} \over 3}} \right]|_0^2 = {4 \over 3}\]
Chọn [A]
Bài 66
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \[y = {x^2}\] và \[y = 6 - \left| x \right|\].Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:
\[\left[ A \right]\,{{32\pi } \over 3};\] \[\left[ B \right]\,9\pi ;\]
\[\left[ C \right]\,8\pi \,;\] \[\left[ D \right]\,{{20\pi } \over 3}.\]
Phương pháp giải:
Dựng hình, sử dụng công thức \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ y \right]dy} \]
Lời giải chi tiết:
\[y = 6 - \left| x \right| = \left\{ \matrix{
6 - x\,\,\text{ nếu }\,\,x \ge 0 \hfill \cr
6 + x\,\,\,\text{ nếu }\,\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Giao điểm của [P] với đường thẳng \[y=6-x\] [ với \[x \ge 0\]] là:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} = 6 - x \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left[ {y = 4} \right]\]
\[\eqalign{
& V = {\int\limits_0^4 {\pi \left[ {\sqrt y } \right]} ^2}dy + \int\limits_4^6 {\pi {{\left[ {6 - y} \right]}^2}dy} \cr &= \pi \int\limits_0^4 {ydy} + \pi \int\limits_4^6 {{{\left[ {y - 6} \right]}^2}dy} \cr
& = \pi {{{y^2}} \over 2}|_0^4 + \pi {1 \over 3}{\left[ {y - 6} \right]^3}|_4^6 \cr &= 8\pi + {{8\pi } \over 3} = {{32\pi } \over 3} \cr} \]
Chọn [A]
Bài 67
Cho \[a,b\] là hai số dương. Gọi \[K\] là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giớihạn bởi parabol \[y = a{x^2}\] và đường thẳng \[y=-bx\]. Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \[K\] xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \[a\] và \[b\]. Khi đó \[a\] và \[b\] thỏa mãn điều kiện sau:
\[\left[ A \right]\,{b^4} = 2{a^5}\,;\]
\[\left[ B \right]\,{b^3} = 2{a^5}\,;\]
\[\left[ C \right]\,{b^5} = 2{a^3}\,;\]
\[\left[ D \right]\,{b^4} = 2{a^2}.\]
Lời giải chi tiết:
\[a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\]
\[V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left[ { - bx} \right]}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left[ {a{x^2}} \right]}^2}dx} \]
\[= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left[ {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right]} dx \] \[=\pi \left[ {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right]\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \]
\[= - \pi \left[ {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right] \] \[= {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\]
Vì \[{{{b^5}} \over {{a^3}}}\] làhằng số nên ta phải chọn [C].
Khi đó \[V = {{4\pi } \over {15}}.\]