Bài tập giới hạn dãy số nhân lượng liên hợp

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

1. \[\lim\left[\sqrt{n^2+n}-n\right]\]
2. \[\lim\left[\sqrt{n^2+n}+n\right]\]
3. \[\lim\left[\sqrt{n^2+n}-2n\right]\]
4. \[\lim\left[\sqrt{9n^2+n}-3n+2\right]\]
5. \[\lim\left[2n-1-\sqrt{4n^2+9n}\right]\]
6. \[\lim\left[2n-1+\sqrt{4n^2+9n}\right]\]

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

1. \[\lim\left[\sqrt[3]{n^3+3n^2}-n\right]\]
2. \[\lim\left[\sqrt[3]{n^3+3n^2}+n\right]\]
3. \[\lim\left[\sqrt[3]{n^3+3n^2}-2n\right]\]
4. \[\lim\left[\sqrt[3]{n^3+3n}-n\right]\]

Cập nhật lúc: 09:27 02-07-2018 Mục tin: LỚP 11

A. LÝ THUYẾT

I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] có giới hạn 0 [hay có giới hạn là 0] nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu \[\lim {u_n} = 0\]

Nói một cách ngắn gọn, \[\lim {u_n} = 0\] nếu \[\left| {{u_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Từ định nghĩa ta suy ra rằng:

a] \[\lim {u_n} = 0 \Leftrightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0\]

b] Dãy số không đổi \[\left[ {{u_n}} \right]\], với \[{u_n} = 0\] có giới hạn là 0.

c] Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] có giới hạn 0 nếu \[{u_n}\] có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0

Định lí 4.1

Cho hai dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] và \[\left[ {{v_n}} \right]\]

Nếu \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\] với mọi n và \[\lim {v_n} = 0\] thì \[\lim {u_n} = 0\]

Định lí 4.2

Nếu \[\left| q \right| < 1\] thì \[\lim {q^n} = 0\]

Người ta chứng minh được rằng

a] \[\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\]

b] \[\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0\]

c] \[\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\] với mọi số nguyên dương k cho trước

Trường hợp đặc biệt: \[\lim \frac{1}{n} = 0\]

d] \[\lim \frac{{{n^k}}}{{{a^n}}} = 0\] với mọi \[k \in {N^*}\] và mọi \[a > 1\] cho trước.

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1. Định nghĩa

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Tài liệu gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm chuyên đề giới hạn của dãy số với 2 dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng ±∞ + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu + Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0 Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức [ads]

Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức
Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn. Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ. Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tính giới hạn nhanh hơn

Loại 3: Dãy số chứa lũy thừa – mũ
Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất. Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này. Bằng cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm
Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Với Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

+] Sử dụng các kiến thức sau:

• Với c là hằng số ta có: lim c = c, lim

= 0. Tổng quát lim [k ≥ 1].

• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn

- Nếu lim un = a và lim vn = b thì

  

- Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì

  

• Các phép toán trên dãy có giới hạn vô cực

  

+] Phương pháp giải:

a] Giới hạn dãy số dạng

, trong đó f[n] và g[n] là các biểu thức chứa căn

=> Chia [các số hạng] của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy và dùng các kết quả trên để tính.

Quy ước:

Biểu thức

có bậc là

Biểu thức

có bậc là

b] Giới hạn dãy số dạng

với f[n] và g[n] là các đa thức

=> Rút lũy thừa của n có số mũ cao nhất ra và sử dụng kết quả của giới hạn dãy số tại vô cực để tính.

c] Giới hạn của dãy số dạng vô định [

] thì ta sử dụng các phép biến đổi liên hợp để đưa dãy số về dạng a] và b].

Các phép biến đổi liên hợp:

Ví dụ 1: Tính giới hạn

A. I = 1

B. I = - 1

C. I = 0

D. I = + ∞

Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp

Biểu thức liên hợp của biểu thức

Đáp án B

Ví dụ 2: lim

bằng:

A. + ∞

B. - ∞

C. -1

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim

A. - 1

B. 3

C. +∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Ví dụ 4: Giới hạn lim

bằng

A. - 1

B. 1

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp bậc ba của biểu thức

Đáp án A

Ví dụ 5: Tính giới hạn lim

A.

B. 0

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Đáp án A