Cập nhật lúc: 15:36 05-10-2018 Mục tin: LỚP 9
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
§5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN A. Tóm tắt kiến thức 1. Số đo của góc có đỉnh ở hên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn [h.63] BEC = sđBnC + sđAmD 2. Sô' đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn [h.64] BEC = sđBC - sđAD B. Ví dụ Cho tam giác ẠBC cân tại A nội tiếp đường tròn [O]. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn [O]. Chứng minh rằng AB- , í? sđAE Góc B] là góc nội tiếp nên Bj = . Từ [1] và [2] suy ra D = Bị . AB AD Vậy AADB on AABE [g.g], do đó —— = ——, suy ra AB = AD.AE. AE AB = AD.AE. > Giải [h.65] Ta có AB = AC nên AB = AC . Góc D là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn nên. Hình 65 m A Hình 64 [1] [2] ~ _ sđAC - sđBE _ sđAB - sđBE _ sđAE 2 Nhận xét: Trong ví dụ này, khi tính số đo của góc D ta đã thay thế cung AC bởi cung AB bằng nó. Nói chung khi phải tính tổng [hay hiệu] số đo của hai cung ta thường dùng phương pháp thay thế một cung bởi cung khác bằng nó để được hai cung liền nhau [nếu tính tổng] hoặc hai cung có một phần chung [nếu tính hiệu]. c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa 36. Giải [h.66]. Góc AEH và góc AHE là các góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : AEH = sđ AN + sđ BM [1] AHE = sđ CN + sđ AM [2] Mặt khác AN = CN ; BM= AM nên từ [1] và [2] ta có AEH = AHE . Do đó AAEH là tam giác cân. Hướng dẫn : Giải tương tự như cách giải trong ví dụ của xoắn này. Giải [h.67] a] Góc E và góc T là các góc có đỉnh ở ngoài đường tròn nên : sdAB-sdCD _ 180° -60° 2 - 2 sd CAB - sd CDB 240° - 120° = 60°. = 60°. Do đó E = T. b] Góc TCD là góc giữa tia tiếp tuyến và một dây nên TCD = ịsđCD =30°. 2 Góc BCD là góc nội tiếp nên BCD = — sđBD = 30°. Vậy TCD = BCD, do đó CD là tia phân giác của góc BCT. Hình 67 SDA = sđ AB + sđ BE _ sđ ABE SAD = . 2 sđẤẼE . [1] [2] Hình 68 Hình 69 360° = 90°. Do đó AP 1 QR. Hướìỉg dẫn [h.68] Trước hết chứng minh CA = CB rồi tính các góc Sj, Mj theo các cung bị chắn. Từ đó ta có Sj - Mj, suy ra ES = EM. Giải [h.69] Gọi E là giao điểm của tia AD với đường tròn. Vì Aj = A2 nên EB = EC. sđ AB + sđ CE Từ [1] và [2] suy ra SDA = SAD do đó SẠ = SD. Hướng dẫn [h.70] Tính góc A, góc BSM theo số đo của các cung bị chắn rồi tính tổng của chúng được A + BSM =sdCN. So sánh với số đo của góc CMN ta được đpcm. Giải [h.71] a] Gọi H là giao điểm của AP và QR. Góc AHQ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên 7777- sđ AQ + sđ RBP AHQ = —— ị[sđ AC + sđ AB + sđ Ỗc] = 22 _ [1] b] Góc PIC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên _ sđ CP + sđ AR _ sđ BP + sđ BR _ sđ PBR Góc PCR là góc nội tiếp nên PCR = sdPBR [2] Tính số đo của góc DMC. Trong hình 73 có hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Biết sđBC = 130°. Tính số đo của góc N. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn [O] ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Tia phân giác của góc ATB cắt AB tại c và cắt đường.tròn tại D. Chứng minh rằng : a] MC2 = MA.MB ; b] DB2 - DC.DT. Cho đường tròn [O] đường kính AB, bán kính oc ± AB. Từ một điểm D trên cung nhỏ AC vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng oc tại M. Gọi N là giao điểm của oc với BD. Chứng minh rằng : MD = MN ; oc, MN và OM là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Từ [1] và [2] suy ra PIC = PCR . Do đó APIC là tam giác cân tại p. 43. Giải [h.72] Vì AB // CD nên AC = BD. Góc AIC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên 7—~ sđ AC + sđ BD 2sđ AC . -77; 2 2 Góc AỌC là góc ở tâm nên AOC = sđ AC . Suy ra Ấõc = Ấĩc . D. Bài tập luyện thêm Từ một điểm A trên đường tròn [O] ta đặt liên tiếp các cung AB, BC, CD lần lượt có số đo là 60°, 90°, 120°. Chứng minh rằng AC ± BD. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M. 130° > Hướng đẫn - Đáp số 1. [h.74]. a] Gọi H là giao điểm của AC và BD. To oA , ALTD- sđ AB + sđ CD o Ta có : AHB= ——-— = 90 . 2 Do đó AC 1 BD. b] Ta có : M = sđ CD - sđ AB = 30°. - Tn oA . ŨÃÃ? _ sđ BC + sđ AD Ta có : BMC = . 2 TKO..OA- „A.nnO_ 130°+sđẤD Thay số, ta có : 90 = — => sđ AD = 50°. , ‘Ct sdBC-sdAD 130°-50° O Vậy N = —— = —— = 40 . 2 2 [h.75] a] Vì Tị = T2 nên DA = DB , ta có : sđ TA + sđ DB MCT = MTD = sđ TA + sđ AD _ sđ TAD "~2 - 2~ sđ TAD [1] [2] Hình 75 Từ [1] và [2] suy ra MCT = MTD , do đó AMTC cân dẫn tới MC = MT. Mặt khác MT2 = MA.MB [xem bài 34] nên MC2 = MA.MB. b] Xét ADBC và ADTB, ta có : D chung ; DBC = T2 [hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau]. _ . ' DB DC Do đó ADBC co ADTB [g.g], suy ra —— = —— . DT DB Dẫn tới DB2 = DC.DT. B [h.76] Ni = Vẽ đường kính COE ta được BE = BC . sd CD + sđ BE _ sđ CD + sđ CB 2 . " 2 sdDCB — sđ DCB = ———— . Mặt khác D, = . 2 2 Vậy Nj = Dj, suy ra MD = MN. Vẽ bán kính OD thì OD ± MD. Xét ADOM, ta có OD2 + DM2 = OM2. Suy ra oc2 + MN2 = OM2. Do đó oc, MN, OM là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Định lí 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng của số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy. Ta có minh họa AEC = BED = sđAC˜ + sđBD˜ 2 AED = BEC = sđAD˜ + sđBC˜ 2. A E D C B 2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Định lí 2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc. Ta có minh họa AED = sđAmD − sđBnC 2. A E B C D O m n B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Một đường tròn [O] và hai đáy AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh 4AEH là tam giác cân. LỜI GIẢI. Ta có AEH = 1 2 sđAN˜ + sđBM = 1 2 sđCN˜ + sđAM = AHE. Vậy, ta được 4AEH cân tại A. A E B C H N M VÍ DỤ 2. Cho hình thang ABCD có AB k CD và AD = DC = CB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Tính số đo của góc AIB với I là giao điểm của AC và BD. LỜI GIẢI. Từ giả thiết, ta nhận được: sđAB˜ = 180◦ sđAD˜ = sđDC˜ = sđCB˜ = 1 3 sđAB˜ = 60◦. Số đo của góc AIB được cho bởi: AIB = 1 2 sđAB˜ + sđDC˜ = 1 2 [180◦ + 60◦] = 120◦. A B D C I Nhận xét. Cách làm trong lời giải của ví dụ trên được hiểu là Để chứng minh một tam giác là tam giác đều ta đi chứng minh có là tam giác cân và có một góc bằng 60◦. VÍ DỤ 3. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn [O] kẻ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. LỜI GIẢI. Vì tính chất của hai tiếp tuyến nên MB = MC. [1] Vì BAD là góc ở đỉnh bên ngoài đường tròn nên: BAD = sđBmD − sđBnC 2 = sđBnD − sđBnC 2 = sđCD˜ 2 = xCD = ACM. D C B O M A x m n Vậy 4MAC cân tại M, suy ra MA = MC. [2] Từ [1] và [2] suy ra MA = MB, tức M là trung điểm của AB. Nhận xét. Trong ví dụ trên, ta phải chứng minh MA = MB nhưng MB = MC [tính chất của hai tiếp tuyến] nên ta cần chứng minh MA = MC, tức là ta phải chứng minh 4MAC cân. Khi tính số đo của góc A ta đã thay thế cung BmD bởi cung BnD có cùng số đo. Nói chung khi phải tính tổng [hay hiệu] số đo của hai cung nào đó, ta thường dùng phương pháp thay thế một cung bởi một cung khác bằng nó để được hai cung liền nhau [nếu tỉnh tổng] hoặc hai cung có một phần chung [nếu tính hiệu]. VÍ DỤ 4. Cho đường tròn [O] và hai dây cung bằng nhau AB, AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AIC = ACM. LỜI GIẢI. Ta có ngay: AB˜ = AC˜, vì AB = AC. AIC = AIB = 1 2 sđAB˜ − sđMC = 1 2 sđAC˜ − sđMC = 1 2 AM [1] Lại có: ACM = AM []góc nội tiếp]. [2] Từ [1] và [2] suy ra AIC = ACM, đpcm. C A I B M Nhận xét. Ta có hai trường hợp đặc biệt của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, cụ thể: Trường hợp 1: Với MT là tiếp tuyến và AB là đường kính. Khi đó: TMB = 1 2 sđAB˜ − sđT = 1 2 180◦ − sđT − sđT = 90◦ − sđT = 1 2 sđT B˜ − 180◦ − sđT B˜ = sđT B˜ − 90◦. T M A O B Trường hợp 2: Với MT, MT0 là hai tiếp tuyến. TMT0 = 180◦ − sđTmT 0 = sđT nT 0 − 180◦. T 0 T O M m n VÍ DỤ 5. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho sđAC˜ = sđCD˜ = sđDB˜ = 60◦. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng: 1 AEB = BT C. 2 CD là tia phân giác của BCT. LỜI GIẢI. 1 Ta có sđAB˜ = 360◦ − sđAC˜ + sđCD˜ + sđDB˜ = 180◦ ; AEB = 1 2 sđAB˜ − sđCD˜ = 1 2 [180◦ − 60◦] = 60◦ ; BT C = 1 2 sđAB˜ + sđAC˜ − sđCD˜ + sđDB˜ = 1 2 [180◦ + 60◦ − [60◦ + 60◦]] = 60◦. Vậy, ta được AEB = BT C. 2 Ta có BCD = 1 2 sđDB˜ = 1 2 sđCD˜ = DCT. Vậy, ta được CD là tia phân giác của góc BCT. O D A B C E T C BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn [O]. Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM. LỜI GIẢI. Ta có ESM = 1 2 sđAC˜ + sđBM = 1 2 sđCB˜ + sđBM = EMS. Suy ra 4ESM cân tại E ⇒ ES = EM. M D B O S C E A BÀI 2. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn [O] ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đi qua tâm [A nằm giữa M và B]. Giả sử số đo của cung nhỏ AT bằng 60◦. Tính số đo của góc TMB. LỜI GIẢI. Ta có TMB = 1 2 sđBT˜ − sđATˆ = 1 2 sđAB˜ − sđATˆ − sđATˆ = 1 2 [180◦ − 60◦ − 60◦] = 30◦. T M A O B. BÀI 3. Qua điểm A nằm ngoài đường tròn [O] vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một diểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh Ab − BSM = 2CMN. LỜI GIẢI. Ta có Ab = 1 2 sđCN˜ − sđBM MSB = 1 2 sđCN˜ + sđBM = Ab + BSM = sđCN˜ = 2CMN. C B M N S A O BÀI 4. Cho đường tròn [O] và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB [D thuộc cung nhỏ AB]. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng AI tại I. Chứng minh rằng: 1 Các tam giác 4INE và 4INF là tam giác cân. 2 AI = 1 2 [AE + AF]. LỜI GIẢI. 1 Từ giả thiết CD ⊥ AB và CD là đường kính ⇒ AC˜ = BC˜ và AD˜ = BD˜. Ta có AEC = 1 2 sđAC˜ − sđBN = 1 2 sđBC˜ − sđBN = 1 2 sđNC˜ = CNx = INE ⇒ 4INE cân tại I. NF I = 1 2 sđAD˜ + sđBN = 1 2 sđBD˜ + sđBN = 1 2 sđND = IND ⇒ 4INF cân tại I. E B F A x C D I O N 2 Từ kết quả câu a] Ta có IE = IN = IF.
Nhận xét rằng: AI = AE − IE và AI = AF + IF ⇒ 2AI = AE + AF ⇔ AI = 1 2 [AE + AF]. BÀI 5. Cho đường tròn [O, R] và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = R √2. Vẽ dây CN đi qua điểm M. Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh rằng: 1 xy k AC 2 CN là tia phân giác của góc BCD. LỜI GIẢI. 1 Ta có AC˜ = BC˜. Và AC = √OC2 + OA2 = R √2. Suy ra 4CAM cân tại A. Nên ACM = AMC = 1 2 sđAC˜ + sđBN = 1 2 sđBC˜ + sđBN = 1 2 sđCN˜ = 1 2 CNx. Suy ra xy k AC. O x M B A D y N C 2 Ta có BD k AC nên xy k BD. Mà ON ⊥ xy nên ON ⊥ BD. Mặt khác tam giác OBD cân tại O nên ON là phân giác góc BOD. Suy ra N là điểm chính giữa cung BD˜. Vậy CN là tia phân giác của góc BCD.