Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán
Thầy Đặng Việt Hùng
04. KHOẢNG CÁCH TRONG LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng
BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng [ABC] trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng [P] chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 8
Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng [ABC] trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng [ABC] bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng [A’BC].
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có A '. ABC là hình chóp tam giác đều, mặt phẳng [ A ' BC ] vuông góc với mặt phẳng [C ' B ' BC], AB = a. Tính theo a thể tích khối chóp A '.BCC ' B '.
Bài 4: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA′ vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Góc giữa [ AB′C ] và [ BB′C ] bằng 600 . Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ theo a.
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng [ AB ' C '] bằng
a 3
. Tính góc giữa hai mặt phẳng [ AB ' C '] và [ A ' B ' C '] , biết thể tích của 3
khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng
a 3 15 . 9
Bài 6*: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , biết A '. ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng [ A ' BC ] và [ BCC ' B '] bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C theo a.
Bài 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C. Góc giữa AA ' và mặt phẳng [ABC] bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CC’ theo a .
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc
www.moon.vn
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán
Thầy Đặng Việt Hùng
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi đó [P] ≡ [BCH]. Do góc A ' AM nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi [P] là tam giác BCH. Do tam giác
a 3 2 a 3 ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = C’ A’ 2 3 3 a2 3 1 a2 3 a 3 B’ ⇒ HM.BC = ⇒ HM = Theo bài ra S BCH = 8 2 8 4 H 3a 2 3a 2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − \= 4 16 4
A' O HM Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên \= A C AO AH O AO.HM a 3 a 3 4 a M suy ra A' O = \= \= AH 3 4 3a 3 B 1 1aa 3 a3 3 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = 2 23 2 12 Bài 2: Gọi M là trung điểm BC. 2 3
2a 2a 3
; A ' AG = 600 ⇒ A ' G = AG.t an600 = 3 3 1 1 2a 3 Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi V = S ABC . A ' G = AB. AC. A ' G = a.a 3. \= a 3 [đvtt] 2 2 3
Từ giả thiết ta có BC = 2a, AG = AI =
Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK GI MG 1 1 1 AB. AC 1 a.a 3 a 3 ⇒ \= \= ⇒ CI = AK = . \= \= AK MA 3 3 3 BC 3 2a 6 Dựng GH ⊥ A’I tại H [1] Do
BC ⊥ GI ⇒ BC ⊥ GH [2] . BC ⊥ A ' G
Từ [1] và [2] ⇒ GH ⊥ [A’BC]. Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp[A’BC] tại N là trung điểm của AB’. Từ đó d [ B ', [ A ' BC ]] = d [ A, [ A ' BC ]] = 3d [G, [ A ' BC ]] = 3GH A ' G.GI \= 3. \= A' I
3. A ' G.GI A ' G 2 + GI 2
\=
3.
2a 3 a 3 . 3 6 = 6a = 2a 51 17 51 12a 2 3a 2
- 9 36
Bài 3: [Các em tự vẽ hình nhé] Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Ta có A ' M = AI =
a 3 a2 ; A ' I = x 2 − ; IM = x. 2 4
A ' I ⊥ BC ⇒ A ' I ⊥ [C ' B ' BC ] ⇒ A ' I ⊥ IM [ A ' BC ] ⊥ [C ' B ' BC ] a 2 3a 2 a Do đó: A ' I 2 + IM 2 = A ' M 2 ⇔ x 2 + x 2 − \= ⇔x= . 4 4 2
1 a3 VA '.BCC ' B ' = . A ' I .BC.IM = . 3 6 2
Bài 4: [Các em tự vẽ hình nhé] Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc
www.moon.vn
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán
Thầy Đặng Việt Hùng
+ Ta tính được AA ' = BB ' = CC ' = a 2. 1 1 + S∆ABC = AI .BC = a.2a = a 2 2 2 + VABC A′B′C ′ = a 2.a 2 = a 3 2
Bài 5:
+ Đặt A ' I = x ⇒ B ' I 2 = 2a 2 − AI 2 = a 2 − x 2 ⇒ AI = a 2 + x 2 + A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ =
a 3 3
+ Ta có AK = AI sin φ = a 2 + x 2 sin φ ⇒ V = AK .S A ' B 'C '
⇔ a4 − x4 .
a 3 15 1 a 3 15 2 2 2 2 4 4 ⇔ \= a + x sin φ. x.2 a − x ⇔ a − x .[ x sin φ] = 9 2 9
a 3 a 3 15 5 a 3 2 \= ⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ = ⇒ sin φ = ⇒ φ = 450. 3 9 9 x
2 2
Bài 6: [Các em tự vẽ hình nhé] Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của AB, BC và B’C’; H = CM ∩ AN . Có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Từ A '. ABC là hình chóp đều ⇒ A ' H ⊥ [ ABC ]
Góc giữa hai mặt phẳng [ A ' BC ] và [ BCC ' B '] bằng 900 ⇒ [ A ' BC ] ⊥ [ BCC ' B '] .
Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ [ BCC ' B '] ⇔ A ' N ⊥ NE . • Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x[ x > 0] . a 2 NE = BB ' NE = AA ' A ' N 2 = A ' B 2 − BN 2 = x 2 − ; ⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' là hình bình 4 NE / / BB ' NE / / AA '
NE = x hành ⇒ a 3 A' E = 2 • Trong tam giác vuông A ' NE có 2
a 3 a2 a 2
A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x 2 = ⇔ 2 x2 = a2 ⇔ x = 2 4 2 2
2
2
2
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc
www.moon.vn
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán
Thầy Đặng Việt Hùng
P = −3c + 96c − 384c + 512 − 3ab [8 − 2c] 3
2
≤ −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3[7 − 2c][8 − 2c ] ⇒ P ≤ −3c3 + 84c 2 − 294c + 344 a 6 a2 3 a3 2 Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' là V = A ' H .S ∆ABC = . \= 6 4 8 A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /[ BCC ' B '] ⇒ d [ A ' A, B ' C ] = d [ A ' A, [ BCC ' B '] ] = d [ A, [ BCC ' B '] ]
BC ⊥ AN • ⇒ BC ⊥ [ A ' AN ] ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' là hình chữ nhật BC ⊥ A ' N 1 1a 2 a2 2 ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = .a = 2 2 2 4 3 3V 1 a 2 1 • VB '. ABC = V = \= d [ A, [ BCB '] ] .S ∆B ' BC ⇒ d [ A, [ BCB '] ] = B '. ABC 3 24
3 S ∆B ' BC a3 2 a ⇒ d [ A, [ BCB '] ] = 28 = a 2 2 4 Bài 7:
A'
C' B'
K C
A H
G
G là trọng tâm ∆ ABC . Ta có A ' G ⊥ [ ABC ] và
[ AA ';[ ABC ] ] = A ' AG = 600 a 3 . Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a 3 a2 3 và S ABC =
4 a2 3 a3 3 Thể tích VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' G = .a = 4 4 AG =
B Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d [ CC ', AA ' ] = d [ CC ', [ AA ' B ' B ] ] = CK Ta có CK =
A ' G.CH \= A' H
a 3 a2 3 a 13 2 \= 2 = 13 A ' G 2 + HG 2 a 39 6 a.
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc
www.moon.vn