Hướng dẫn cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách dựng một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là bài toán quyết định của hình học không gian lớp 11, và cũng là cơ sở để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12.
Xem thêmCách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, từ đó suy ra đường thẳng vuông góc với đường thẳng
- Câu hỏi lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Xác định thiết diện liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian
- Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng [P]
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- Câu hỏi lý thuyết về hai mặt phẳng vuông góc
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
- Tính giới hạn hàm số vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức
- Tính giới hạn hàm số vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức
- Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng [P]
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Chứng minh hai đường thẳng song song
- Chứng minh hai mặt phẳng song song
- Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
- Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay
Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ [α] ta có thể dùng môt trong hai cách sau.
Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong [α] .
Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với [α] .
Cách 3. Chứng minh d vuông góc với [Q] và [Q] // [P].
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
+ Chứng minh d vuông góc với [P] và [P] chứa a.
+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ [ABC] và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ BC
B. AH ⊥ BC
C. AH ⊥ AC
D. AH ⊥ SC
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vậy câu C sai.
Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ [ABC]. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB ⊥ [ABC]
B. AB ⊥ BD
C. AB ⊥ [ABD]
D. BC ⊥ AD
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi E là trung điểm của BC.
Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.
Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC
Khi đó ta có
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ [ABC] và AB ⊥ BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
A. 1B. 2C. 3D. 4
Hướng dẫn giải
Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông tại B
Ta có SA ⊥ [ABC] ⇒
Mặt khác
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SO ⊥ [ABCD]
B. CD ⊥ [SBD]
C. AB ⊥ [SAC]
D. CD ⊥ AC
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC .
Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD .
Từ đó suy ra SO ⊥ [ABCD] .
Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với [SBD]
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ [ABCD]. Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh phương án D đúng.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA ⊥ [ABC] và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. CH ⊥ SAB. CH ⊥ SBC. CH ⊥ AKD. AK ⊥ SB
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH ⊥ AB.
Lại có: CH ⊥ SA [vì SA vuông góc với mp[ABC]] .
Suy ra CH ⊥ [SAB]. Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ [BCD] . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. CD ⊥ BDB. AC = BDC. AB = CD.D. AB ⊥ CD
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D
Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp [ABC] . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:
A. Trực tâm.
B. Tâm đường tròn nội tiếp.
C. Trọng tâm.
D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp[ABC] . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A. H là trực tâm tam giác ABC
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
C.
D. CH là đường cao của tam giác ABC .
Hướng dẫn giải
+ Ta có OA ⊥ [OBC] ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ [OAH] ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự, ta có AB ⊥ CH
Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC
suy ra đáp án A, D đúng
+ Gọi I là giao điểm của AH và BC .
Ta có ; OA ⊥ [OBC] nên OA ⊥ OI
Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có
suy ra đáp án C đúng.
Chọn đáp án B
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp [ ABC]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC
Hướng dẫn giải
Gọi SA = SB = SC = a
+ Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a
Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2
+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC
⇒ SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇒ SI ⊥ [ABC]
Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC]
Chọn D
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp[BCD] . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. H là trực tâm tam giác BCD
B. CD ⊥ [ABH]
C. AD ⊥ BC
D. Các khẳng định trên đều sai.
Ta có
Tương tự BD ⊥ CH
Suy ra H là trực tâm tam giác BCD. Suy ra loại đáp án A, B
Ta có
Chọn đáp án D
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ [ABC]. Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC ⊥ [SAH]B. HK ⊥ [SBC]
C. BC ⊥ [SAB]D. SH, AK và BC đồng quy
Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ [SAH]
Ta có CK ⊥ AB, CK ⊥ SA ⇒ CK ⊥ [SAB] hay CK ⊥ SB
Mặt khác có CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ [CHK] hay SB ⊥ HK, tương tự SC ⊥ HK nên HK ⊥ [SBC]
Gọi M là giao điểm của SH và BC.
Do BC ⊥ [SAH] ⇒ BC ⊥ AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK
⇒ SH, AK và BC đồng quy
Do dó BC ⊥ [SAB]. Sai
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SO ⊥ [ABCD]
B. SO ⊥ AC
C. SO ⊥ BD
D. Cả A, B, C đều sai
Ta có O là trung điểm của AC và SA = SC ⇒ SO ⊥ AC
Tương tự SO ⊥ BD
Vậy
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ [ABCD]. Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. SA ⊥ BDB. SC ⊥ BDC. SO ⊥ BDD. AD ⊥ SC
Ta có SA ⊥ [ABCD] ⇒ SA ⊥ BD
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ [SAC] hay BD ⊥ SC, BD ⊥ SO
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ [ABCD]. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. [IJK] // [SAC]
B. BD ⊥ [IJK]
C. Góc giữa SC và BD có số đo 60°
D. BD ⊥ [SAC]
Chọn C.
+ Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC
Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK // SA
⇒ [IJK] // [SAC]. Vậy A đúng
+ Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ [SAC]
nên D đúng.
+ Do BD ⊥ [SAC] và [IJK] // [SAC] nên BD ⊥ [IJK] nên B đúng.
Vậy C sai
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ [ABCD]. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AC ⊥ SH
B. AC ⊥ KH
C. AC ⊥ [SHK]
D. Cả A, B, C đều sai
+ Ta cos SH ⊥ [ABCD] ⇒ SH ⊥ AC
+ Tam giác ABD có H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ⇒ HK // BD
Lại có
⇒ AC ⊥ [SHK]
Chọn D
Câu 7: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên [ABC]. Khẳng định nào sau đây sai?
Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao:
Từ [1] và [2] ⇒ H là trực tâm tam giác ABC ⇒ Đáp án C đúng.
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B ; C ; D.
A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
B. O là trọng tâm tam giác ACD
C. O là trung điểm cạnh BD
D. O là trung điểm cạnh AD
Chọn D
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ [BCD]. Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. AB = CDB. AC = BDC. AB ⊥ CDD. CD ⊥ BB
Chọn C
Do AH ⊥ [BCD] ⇒ AH ⊥ CD .
Mặt khác, H là trực tâm tam giác BCD nên BH ⊥ CD
Suy ra CD ⊥ [ABH] nên CD ⊥ AB.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SH ⊥ [ABCD]
B. SH ⊥ HC
C. A, B đều đúng
D. A, B là sai
Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. [ A’BD]B. [ A’DC’]C. [ A’CD’]D. [ A’B’CD]
Ta có
Vậy chọn đáp án A
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. SA ⊥ [ABCD]B. BD ⊥ [SAC]
C. AC ⊥ [SBD]D. AB ⊥ [SAC]
Ta có: SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân
Mặt khác: O là trung điểm của AC [tính chất hình thoi]
Khi đó ta có: AC ⊥ SO
Vậy chọn đáp án C
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ [ABCD]. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. AK ⊥ HKB. HK ⊥ AMC. BD // KH D. AH ⊥ SB .
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp[ABC]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC
Gọi SA = SB = SC = a
Ta có: tam giác SAC cân có 1 góc bằng 60° nên tam giác SAC đều ⇒ AC = SA = a
+ tam giác SAB vuông cân tại S
⇒ AB = a√2
⇒ AC2 + AB2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A
+ Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và d ⊥ [ABC]
Mặt khác : SA = SB = SC nên S ∈ d . Vậy SI ⊥ [ABC] nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC]
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng [ ABC] . Xét các mệnh đề sau :
I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OC ⊥ [OAB]
II. Do AB ⊂ [ABC] nên AB ⊥ OC [1]
III. Có OH ⊥ [ABC] và AB ⊂ [ABC] nên AB ⊥ OH[2]
IV. Từ [1] và [2] AB ⊥ [OCH]
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ?
A. I, II, III, IV
B. I, II, III
C. II, III, IV
D. I, IV
Ta có:
Chọn đáp án A
Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Có đáy là hình thoi ∠BAD = 60° và AA’ = A’B = A’D. Gọi O = AC ∩ BD. Hình chiếu của A’ trên [ABCD] là :
A. trung điểm của AO
B. trọng tâm tam giác ABD
C. giao của hai đoạn AC và BD
D. trọng tâm tam giác BCD.
Vì A’A = A’B = A’D nên hình chiếu của A’ trên [ ABCD] trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD [1].
Mà tứ giá ABCD là hình thoi và ∠BAD = 60° nên tam giác BAD là tam giác đều [2]
Từ [1] và [ 2] suy ra H là trọng tâm tam giác ABD
Chọn đáp án B
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau