Trong hình học, sự song song là một đặc tính của các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tổng quát hơn là các không gian afin. Ban đầu, khái niệm song song do Euclide đặt ra trong tác phẩm Cơ sở, bộ sách về toán học và hình học nổi tiếng của ông.
Các bài toán hình luôn là một đề bài hắc búa đối với học sinh. Toán hình đòi hỏi bạn phải có tư duy tốt.
Cách chứng minh song song lớp 9 trong đường tròn
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN
A. Lý thuyết cần nắm vững
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R [Với R>0] là hình gồm các điểm cách O một khoảng R.
+ Khi OM = R, lúc này điểm M nằm trên đường tròn.
+ Khi OM < R ta có điểm M nằm bên trong đường tròn.
+ Khi OM > R ta có điểm M nằm bên ngoài đường tròn.
Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường nào của nó.
2. Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý:
Trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Định lý:
- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
Định lý:
Trong một đường tròn:
- Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm
- Trong hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi chúng gần tâm hơn.
Định lý:
Trong một đường tròn:
- Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm
- Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn.Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn.
Định lý:
Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và chia dây ấy thành hai phần bằng nhau.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây [không phải là đường kính] thì chia cung căng dây ấy thành hai phần bằng nhau.
Lưu ý: Khi nói cung AB mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là cung nhỏ AB.
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi chúng có một điểm chung
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi chúng có hai điểm chung.
Gọi khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn, khi đó ta có các liên hệ: Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi và chỉ khi d > R. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi d = R. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi d< R.
Định lý:
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
A.Kiến thức hình học 9 – ôn thi vào lớp 10
1. Hình học 9 – Chứng minh tổng [hoặc hiệu] hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Các em có thể:
#1. Chia đoạn thẳng lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.
#2. Dựng tổng của hai đoạn thẳng cho trước rồi chứng minh tổng này bằng đoạn thẳng thứ ba.
2. Hình học 9 – Chứng minh tổng [hoặc hiệu] hai góc bằng góc thứ ba.
#1. Ta có thể làm tương tự như trên, chia góc lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng góc thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng góc thứ hai.
#2. Dùng định lí về góc nội tiếp: Góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
3. Hình học 9 – Chứng minh hai hệ thức hình học bằng nhau:
#1. Dùng định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo ra những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
#2. Hai tam giác đồng dạng thì các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
#3. Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
#4. Dùng tính chất: Đường tròn [O] và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt [O] tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt [O] tại C và D.
Ta có: MA.MB = MC.MD
#5. Dùng tính chất: Nếu từ một điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB thì MT² = MA. MB
B. Ví dụ – Hình học 9 chứng minh các hệ thức hình học
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn [O]. Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MB + MC = MA.
Giải:
Chúng ta cùng phân tích để tìm lời giải nhé!
Để chứng minh AM = BM + CM, ta có hai ý tưởng:
1] Tách AM thành hai đoạn, đoạn thứ nhất bằng BM và chứng minh đoạn thứ hai bằng CM.
2] Có thể dựng một đoạn thẳng bằng BM + CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng AM.
Giờ ta làm theo hai cách:
Cách 1: Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Ta sẽ đi chứng minh AD = MC.
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Sơ đồ chứng minh
Tam giác BMD có:
MD = MB [cách dựng]
∠BMD = ∠BCA = 60° [góc nội tiếp cùng chắn cung AB]
⇒ Δ BMD đều ⇒ BD = BM; ∠MBD = 60°
Xét Δ ABD và ΔCBM có:
- AB = BC
- ∠B1 = ∠B3 [ = 60° − ∠B2]
- BD = BM
⇒ Δ ABD = ΔCBM [c.g.c] ⇒ AD = MC.
Vậy MB + MC = MD + AD = MA.
Cách 2:
Sơ đồ chứng minh
Trên tia đối của tia MB, lấy điểm E sao cho ME = MC.
Tứ giác ABMC nội tiếp nên ta có ∠BAC = 60° nên ∠BMC = 120°
⇒ ∠CME = 60°
⇒ Δ CME đều ⇒ CM = CE và ∠C3 = 60º.
Xét Δ ACM và Δ BCE có:
- AC = BC
- ∠ACM = ∠BCE [ = 60° + ∠C2]
- CM = CE [cmt]
suy ra Δ ACM và Δ BCE [c.g.c]
⇒ AM = BE = BM + ME hay AM = BM + MC.
Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm M và N.
a] Chứng minh: BEDC nội tiếp
b] Chứng minh ∠DEA = ∠ACB.
c] Chứng minh DE song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
d] Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh AO là phân giác của góc MAN.
e] Chứng minh rằng AM² = AE.AB
Pro TIP >>> Khi làm bài hình học 9: Ta nên vẽ hình – ghi giả thiết kết luận cho dễ nhìn và dễ phân tích cái đã cho và cái cần tìm.
Hướng dẫn giải:
a] Chứng minh tứ giác nội tiếp rất phổ biến trong các bài toán hình học 9, các em có thể tham khảo các cách chứng minh tứ giác nội tiếp tại đây.
Trong bài này, ta nhìn hình thấy tứ giác BEDC có D và E cùng nhìn BC một góc 90 độ: [góc BEC = góc BDC = 90 độ] nên ta suy ra tứ giác BEDC là hình bình hành.
b] Đây là một câu chứng minh hai góc bằng nhau. Ta phải chứng minh: ∠DEA = ∠ACB
Xét ∠ACB trước nhé!
∠ACB là một góc của tứ giác nội tiếp BEDC [ta vừa chứng minh ở câu a] nên suy ra ∠ACB + ∠BED = 180º >> Viết lại AM² = AE.AB thành tỉ lệ các cặp cạnh . Như vậy, có thể xét cặp tam giác AMB và AME đúng không?
Xét ΔAME và Δ AMB có:
∠MBA = ∠AME [AM = AN cmt]
∠A1 : góc chung
⇒ ΔAME ∼ Δ AMB [g.g] ⇒ AM² = AE.AB.