- Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng $\Delta $
Tham số hóa điểm $H\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AH}$. Do $AH\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H.
Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua đường thẳng $\Delta $ thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$.
Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm ${A}'$.
- Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng [P]
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với [P], khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}$từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra $H=d\cap \left[ P \right]$.
Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng [P] thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$.
Bài tập tìm điểm trong tọa độ không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm$A\left[ 2;-3;1 \right]$ lên đường thẳng $\Delta $. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $H\left[ -1+2t;-2-t;2t \right]\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left[ 2t-3;1-t;2t-1 \right]$
Cho $\overrightarrow{αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left[ 2t-3;1-t;2t-1 \right].\left[ 2;-1;2 \right]=0$
$\Leftrightarrow 2\left[ 2t-3 \right]+\left[ t-1 \right]+2\left[ 2t-1 \right]=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H=\left[ 1;-3;2 \right].$
| Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
$A\left[ 1;0;0 \right],B\left[ 0;1;0 \right],C\left[ 0;0;1 \right],D\left[ -2;1;-1 \right]$. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. |
Lời giải chi tiết:
PT mặt phẳng $\left[ ABC \right]:x+y+z-1=0$, phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với [ABC] có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 1;1;1 \right]\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$
$\Rightarrow H=d\cap \left[ ABC \right]$. Gọi $H\left[ -2+t;1+t;-1+t \right]\in d$
Do $H\in \left[ P \right]\Rightarrow -2+t+1+t-1+t-1=0\Leftrightarrow t=1$. Vậy $H\left[ -1;2;0 \right]$.
| Bài tập 3: Hình chiếu vuông góc của $M\left[ 2;0;0 \right]$lên đường thẳng $\left\{ \begin{array} {} x=-t \\
{} y=3+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ có tọa độ là: A. $\left[ -2;2;1 \right]$. B. $\left[ -2;0;0 \right]$. C. $\left[ 2;1;-1 \right]$. D. $\left[ 1;2;-1 \right]$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $H\left[ -t;3+t;1+t \right]\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left[ -t-2;3+t;1+t \right];\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ -1;1;1 \right]$
Cho $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+2+3+t+1+t=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left[ 2;1;-1 \right]$. Chọn C.
| Bài tập 4: Hình chiếu vuông góc của $M\left[ 1;4;2 \right]$lên mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x+y+z-1=0$có tọa độ là: A. $\left[ -1;2;0 \right]$. B. $\left[ 2;-1;0 \right]$. C. $\left[ -2;3;1 \right]$. D. $\left[ 3;2;-1 \right]$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left[ \alpha \right]$là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$
$H=d\cap \left[ \alpha \right]$, gọi $H\left[ 1+t;4+t;2+t \right]\in d\Rightarrow 1+t+4+t+2+t-1=0\Leftrightarrow t=-2$
$\Rightarrow H\left[ -1;2;0 \right]$. Chọn A.
| Bài tập 5: Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x+3y-z-27=0$. Điểm đối xứng với điểm $M\left[ 2;1;0 \right]$qua mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$có tọa độ là:
A. $\left[ 2;-1;0 \right]$. B. $\left[ -2;-1;0 \right]$. C. $\left[ 13;6;-4 \right]$. D. $\left[ 6;13;-4 \right]$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left[ \alpha \right]$là: $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$
$H=d\cap \left[ \alpha \right]\Rightarrow H\left[ 4;7;-2 \right]$ là trung điểm của $M{M}'\Rightarrow {M}'\left[ 6;13;-4 \right]$. Chọn D.
| Bài tập 6: Điểm đối xứng với điểm $A\left[ 1;-2;-5 \right]$qua đường thẳng $\left[ d \right]:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-1-t \\ {} z=2t \\ \end{array} \right.$ có tọa độ là:
A. $\left[ -2;-1;7 \right]$. B. $\left[ -1;-2;5 \right]$. C. $\left[ -3;2;1 \right]$. D. $\left[ 1;2;-4 \right]$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi ${A}'$là điểm đối xứng quả A qua d.
Gọi $H\left[ 1+2t;-1-t;2t \right]$ ta có: $\overrightarrow{AH}=\left[ 2t;1-t;2t+5 \right]$
Cho $\overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+t-1+4t+10=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left[ -1;0;-2 \right]\Rightarrow {A}'\left[ -3;2;1 \right]$. Chọn C.
| .Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left[ 2;3;-1 \right],B\left[ 0;-1;2 \right],C\left[ 1;0;3 \right]$. Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là :
A. $\left[ 3;1;0 \right]$. B. $\left[ 1;0;3 \right]$. C. $\left[ -2;-3;1 \right]$. D. $\left[ 3;2;-1 \right]$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left[ 1;1;1 \right]$
Phương trình đường thẳng BC là $BC:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$.
Gọi $H\left[ t;-1+t;2+t \right]\in BC$ta có: $\overrightarrow{AH}=\left[ t-2;t-4;t+3 \right];\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left[ 1;1;1 \right]=0$
$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=0\Leftrightarrow 3t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left[ 1;0;3 \right]$. Chọn B.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d
- Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa điểm A và vuông góc với d
- Tìm H là giao điểm của d và [P] => H là giao điểm của A trên d
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng [P]
- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với [P]
- Tìm H là giao điểm của d và [P] => H là giao điểm của A trên [P]
Ví dụ: 1
Tìm hình chiếu vuông góc của A[1; 2; 1] trên đường thẳng d:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chi phương
+ Gọi mặt phẳng [P] chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của [P] là:
1[x – 1] + 2. [y – 2] – 2.[z – 1] = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và [P]
Tọa độ H[ t – 2; 2t + 1; -2t – 1] thỏa mãn :
[t-2] + 2[2t+1] – 2[-2t-1] – 3 = 0 t = 1/9
Vậy H là hình chiếu của A trên d và
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ: 2
Cho M[1; -1; 2] và mặt phẳng [P]: 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng [P]
A. [ 2; 1; 0]
B. [ - 2;0; 1]
C.[-1; 0; 0]
D. [ 0; 2; 1]
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P] nhận vectơ pháp tuyến của [P] làm vectơ chỉ phương
Phương trình của d là:
+ Tìm H là giao điểm của d và [P]
Tọa độ của H[1+2t, -1-t; 2+2t] thỏa mãn:
2[1+2t] – [-1-t] + 2[2+2t] + 2 = 0
⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0
⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H [ - 1; 0; 0]
Chọn C.
Ví dụ: 3
Cho điểm M [2; -1; 8] và đường thẳng
A. [ 1; 2; 1]
B.[ 5; - 3; 4]
C. [ -2; 1;3]
D. [ 1;1;3]
Hướng dẫn giải
Phương trình tham số của d là:
Xét điểm H[1+2t; -t-1; 2t] thuộc d
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
⇔ 2[2t-1] – 1[-t] + 2[2t-8] = 0
⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0
⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2
=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H[5; - 3; 4]
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [ -1;3; 0]
B. [ -2; 1; 0]
C. [ -1; 2; 1]
D. [ - 2; -1; 1]
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:
=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .
Chọn A.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M[ -1; 2; 1]. Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng [P]
A. [ 1; 0; 2]
B. [ -1; 0; 2]
C. [- 2; 0; 2]
D. [ -1; 2; -2]
Hướng dẫn giải
+Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M [ -1; 2; 1] và vuông góc với mặt phẳng [P] nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng [P] chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P].
Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng [P] ta được:
[ -1+ 2t]+ 2[2+ 2t] – [ 1- t] + 5= 0
⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0
⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H[ -2; 0; 2]
Chọn C.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.[ 1; 0; - 2]
B. [ -2; 1; 1]
C. [ 1; 2; 3]
D. [- 1; 0; 6]
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua A[0; 0; 2] và có vecto chỉ phương
+ Gọi [P] là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng [P] nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng [P]:
-1[ x- 1] + 2[ y-1] + 1[ z- 1] = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P]
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H[- t; 2t; 2+ t] . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng [P] ta được:
- [ - t] + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0
=> Hình chiếu của M lên d là H [ 0; 0; 2]
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.
=> Tọa độ điểm M’[ - 1; 0; 6 ]
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x- 2y - 4= 0 và điểm A[ 1; 1; 0]. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua [P]. Tìm A’.
A. [ 3; -3; 0]
B. [ -2; 1; 3]
C. [ 0;2; -1]
D. [-2; 3; 1]
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A[ 1; 1; 0] và vuông góc với mặt phẳng [P]. Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là [ 1; -2; 0]
=> Phương trình đường thẳng
+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng [ P]. Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P]:
=> H[ 1+ t; 1- 2t; 0] thay vào phương trình mặt phẳng [P] ta có:
1+ t – 2[ 1- 2t] - 4= 0 hay t= 1
=> H[ 2; - 1; 0] .
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên [ P] là H[ 2; -1; 0] .
+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua [P] nên H là trung điểm của AA’.
=> Tọa độ A’[3; -3; 0]
Chọn A.
Câu 1:
Tìm hình chiếu vuông góc của A[- 2; 1;0] trên đường thẳng
A. [ -2; 0; 1]
B. [ 2; -1;- 5]
C. [ 0;3;-3]
D. Đáp án khác
+ Đường thẳng d có vecto chi phương
+ Gọi mặt phẳng [P] chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của [P] là:
- 2[x + 2] + 1. [y – 1] – 2.[z – 0] = 0 hay - 2x + y- 2z – 5= 0
+ Tìm H là giao điểm của d và [P]
Tọa độ H[ - 2t; t; -7- 2t] thỏa mãn :
- 2[- 2t] + t – 2[ -7- 2t] – 5= 0
⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1
Vậy H là hình chiếu của A trên d và H[2; -1; -5]
Chọn B.
Câu 2:
Cho M[ 0; 1; 3] và mặt phẳng [P]: x + y - z +2 = 0. Gọi H [ a; b; c ] là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng [P]. Tính a+ b + c?
A. - 2
B. 6
C. - 4
D. 4
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P]; nhận vectơ pháp tuyến của [P] làm vectơ chỉ phương
Phương trình của d là:
+ Tìm H là giao điểm của d và [P]
Tọa độ của H[ t; 1+ t; 3- t] thỏa mãn: t+ 1+ t- [ 3- t] + 2= 0
⇔ 3t= 0 nên t= 0
=> Tọa độ H[ 0;1;3]
=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4
Chọn D.
Câu 3:
Cho điểm M [ - 2; 1; - 2] và đường thẳng
A. [ 1; 2; 1]
B.[ 0; 2; 2]
C. [ - 1; 2; 0]
D. [0; 1; 0]
Xét điểm H[-t; 2- 2t; 2+ t] thuộc d
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
⇔ - 1[ - t+ 2]- 2[ 1- 2t] + 1[ 4+ t] = 0
⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0
⇔ 6t = 0 nên t= 0
=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H[ 0; 2; 2]
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [1; 0; -2]
B. [ -2; 1; 0]
C. [ -1; 2; 1]
D. [ - 2; -1; 1]
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:
=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .
Chọn B.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x+ 2z+ 3= 0 và điểm M[-2; 1; 2]. Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng [P]
A. [ 1; 0; 2]
B. [ -1; 0; 2]
C. [- 2; 0; 2]
D. [ -3; 1; 0]
+Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M [- 2; 1; 2] và vuông góc với mặt phẳng [P] nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng [P] chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P].
Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t vào phương trình mặt phẳng [P] ta được:
- 2+ t + 2[ 2+ 2t] + 3= 0
⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H[ - 3; 1; 0]
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B. [ -2; 1; 1]
C.
D. [ 2; 2; 1]
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
+ Gọi [P] là mặt phẳng qua M[ 1; 0; 2] và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng [P] nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng [P]:
1[ x- 1] - 1[ y-0] + 1[ z- 2] = 0 hay x - y + z – 3= 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P]
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H[t; -t; 2+ t] . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng [P] ta được:
t- [ - t] + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3
=> Hình chiếu của M lên d là
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.
=> Tọa độ điểm M’
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A[ 2; 1; 1]. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua [P]. Tìm A’.
A. [ 4; - 3; - 5]
B. [ -2; 1; 3]
C. [ 0;2; -1]
D. [-2; 3; 1]
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A[ 2;1; 1] và vuông góc với mặt phẳng [P]. Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là [1; -2; - 3]
=> Phương trình đường thẳng d:
+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng [ P]. Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P]:
=> H[ 2+ t; 1- 2t; 1- 3t] thay vào phương trình mặt phẳng [P] ta có:
2+ t – 2[ 1- 2t]- 3[ 1- 3t] - 11 = 0
⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0
⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H [ 3; -1; - 2]
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên [ P] là H[ 3; -1; - 2] .
+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua [P] nên H là trung điểm của AA’.
=> Tọa độ A’[ 4; -3; - 5]
Chọn A.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp