Nếu vậy thì khi $n=5$, $m=1$, xác suất để có ít nhất $1$ cặp nam nữ ngồi đối diện sẽ là $\frac{C_5^1+C_5^3+C_5^5}{C_{10}^5}=\frac{16}{252}\approx 0,0635$ [lẽ ra xác suất này phải là $1$ chứ ?]
--------------------------------------------------------------------
Mình làm như sau :
Xem như các ghế xếp thành $n$ cột [mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện]
Dễ thấy rằng khi n-p lẻ thì xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện là bằng $0$. Vậy chỉ cần tính xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện [với $p=n-2k$ và $m\leqslant p\leqslant n$] rồi "xichma" chúng lại.
$\left | \Omega \right |=\left [ 2n \right ]!=\frac{P_{2n}^n}{n!}.[n!]^2=C_{2n}^n.[n!]^2$
Chọn $p$ cột [có nam nữ ngồi đối diện] : $C_n^{n-2k}=C_n^{2k}$ cách.
Xác định ghế dành cho nam và ghế dành cho nữ trong $p$ cột đó : $2^p=2^{n-2k}$ cách.
Chọn $k$ cột [mỗi cột gồm $2$ ghế nam ngồi đối diện] trong số $2k$ cột còn lại : $C_{2k}^k$ cách.
[Như vậy đã xác định được $n$ ghế dành cho nam và $n$ ghế dành cho nữ]
Xếp $n$ bạn nam vào $n$ ghế dành cho nam, $n$ bạn nữ vào $n$ ghế còn lại : $[n!]^2$ cách.
Vậy số cách xếp để có ĐÚNG n-2k cặp nam nữ ngồi đối diện là $C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k.[n!]^2$
Và xác suất để có ít nhất $m$ cặp nam nữ ngồi đối diện là $\frac{\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n-m}{2} \right \rfloor}C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k}{C_{2n}^n}$
Với $n=5$ :
Xác suất có ít nhất $1$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1+C_5^4.2^1.C_4^2}{C_{10}^5}=1$
Xác suất có ít nhất $3$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1}{C_{10}^5}=\frac{192}{252}\approx 0,7619$
Xác suất có ít nhất $4$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0}{C_{10}^5}=\frac{32}{252}\approx 0,1270$.
"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...
----------------------------------------------------
Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
Xem như các ghế xếp thành $6$ cột, mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện.
- Chọn $2$ cột [dành cho $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện] : $C_6^2=15$ cách.
- Chọn $2$ cặp vợ chồng may mắn và xếp đứng vào trước $2$ cột đó : $4.3=12$ cách.
- Xếp $2$ cặp vợ chồng vào các ghế của $2$ cột đó : $2^2=4$ cách.
Xếp chỗ cho $8$ người còn lại :
TH1 : Có $2$ cặp "ông nọ, bà kia" [tức là có $2$ phụ nữ đã kết hôn ngồi đối diện với $2$ đàn ông đã kết hôn nhưng không phải chồng của mình]
- Chọn $2$ cột [dành cho $2$ cặp này] : $C_4^2=6$ cách.
- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn đứng trước $2$ cột này : $2$ cách.
- Chọn ghế cho $2$ phụ nữ này : $2^2=4$ cách [khi đó ghế của $2$ đàn ông đã kết hôn cũng được xác định]
- Chọn ghế cho $4$ người độc thân còn lại : $4!=24$ cách.
TH2 : Có đúng $1$ cặp "ông nọ, bà kia" [có đúng $1$ cặp nam nữ đã kết hôn ngồi đối diện với nhau nhưng không phải vợ chồng]
- Chọn $2$ cột [dành cho $2$ phụ nữ đã kết hôn] : $6$ cách.
- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn vào đứng trước $2$ cột đó : $2$ cách.
- Chọn ghế cho $2$ quý bà này : $4$ cách.
- Chọn $1$ quý ông đã kết hôn : $2$ cách [người này sẽ được ngồi đối diện với quý bà đã kết hôn nhưng không phải vợ mình]
- Chọn ghế cho quý ông đã có vợ còn lại : $4$ cách [vì ghế của người này phải thuộc $1$ trong $2$ cột chưa có ai ngồi]
- Xếp chỗ cho $4$ người độc thân : $24$ cách.
TH3 : Không có cặp "ông nọ, bà kia" nào [$4$ người đã kết hôn đều ngồi đối diện với người độc thân]
- Xếp $4$ người đã kết hôn đứng trước $4$ cột : $24$ cách.
- Chọn ghế cho $4$ người này : $2^4=16$ cách.
- Xếp $4$ người độc thân vào $4$ ghế còn lại : $24$ cách.
Xác suất cần tính là $P=\frac{15.12.4.[6.2.4.24+6.2.4.2.4.24+24.16.24]}{12!}=\frac{720.19584}{12!}\approx 0,029437$
Giải quyết bài toán đối: Sắp xếp 5 học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi sao cho bạn An và bạn Dũng ngồi cạnh nhau.
Áp dụng nguyên tắc buộc: Buộc An và Dũng và coi 2 bạn đó là 1 bạn.