Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực \[x \in \left[ {1;\,6} \right]\] thỏa mãn \[4\left[ {x – 1} \right]{e^x} = y\left[ {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right]\] ?
A. 17.
B. 18.
C. 16.
D. 15.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \[4\left[ {x – 1} \right]{e^x} = y\left[ {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right] \Leftrightarrow 4\left[ {x – 1} \right]{e^x} – y\left[ {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right] = 0\].
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 4\left[ {x – 1} \right]{e^x} – y\left[ {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right]\] với biến số \[x \in \left[ {1;\,6} \right]\] và tham số \[y \in {\mathbb{N}^ * }\].
\[f’\left[ x \right] = \left[ {4x – y} \right]\left[ {{e^x} + y} \right]\]. \[f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = \frac{y}{4}\].
\[f\left[ 1 \right] = y\left[ {5 – e – y} \right]\], \[f\left[ 6 \right] = – 6{y^2} + \left[ {75 – {e^6}} \right]y + 20{e^6}\], \[f\left[ {\frac{y}{4}} \right] = – 4{e^{\frac{y}{4}}} – \frac{{{y^3}}}{8} + 3y\].
∙] Trường hợp 1: \[\frac{y}{4} \notin \left[ {1;\,6} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y \le 4\\y \ge 24\end{array} \right.\]
+] Với \[y \le 4\] ta có \[f’\left[ x \right] > 0\,\forall \,x \in \left[ {1;\,6} \right] \Rightarrow f\left[ x \right] \in \left[ {f\left[ 1 \right];\,f\left[ 6 \right]} \right]\]. Khi đó phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ 1 \right] < 0\\f\left[ 6 \right] > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 4\end{array} \right.\].
+] Với \[y \ge 24\] ta có \[f’\left[ x \right] < 0\,\forall \,x \in \left[ {1;\,6} \right] \Rightarrow f\left[ x \right] \in \left[ {f\left[ 6 \right];\,f\left[ 1 \right]} \right]\].
Do \[f\left[ 1 \right] < 0\] nên phương trình vô nghiệm khi \[y \ge 24\].
∙] Trường hợp 2: \[\frac{y}{4} \in \left[ {1;\,6} \right] \Leftrightarrow y \in \left[ {4;\,24} \right]\].
Ta có bảng biến thiên:
Vì \[f\left[ 1 \right] < 0\] nên phương trình có nghiệm khi \[f\left[ 6 \right] > 0 \Leftrightarrow 6{y^2} – \left[ {75 – e} \right]y – 20{e^6} < 0\] \[ \Leftrightarrow y \in \left[ {{y_1};\,{y_2}} \right]\], với \[{y_1} = \frac{{75 – {e^6} – \sqrt {{e^{12}} + 330{e^6} + 5625} }}{{12}},{y_2} = \frac{{75 – {e^6} + \sqrt {{e^{12}} + 330{e^6} + 5625} }}{{12}}\] Suy ra \[y \in \left\{ {5;\,6;\,…;\,17,18} \right\}\]. Kết hợp 2 trường hợp ta được \[y \in \left\{ {3;\,4;5;\,…;\,17,18} \right\}\]. Chọn đáp án C.
Giải chi tiết:
Xét bất phương trình \[{\log _4}\left[ {{x^2} + y} \right] \ge {\log _3}\left[ {x + y} \right]\,\left[ 1 \right]\]. ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\]
Nếu x = 0 thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \ln y\left[ {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \ln y \le 0 \Leftrightarrow y = 1\] [do y là số nguyên] [thỏa mãn yêu cầu đề bài]
Nếu x = 1 thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \ln \left[ {y + 1} \right]\left[ {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \ln \left[ {y + 1} \right] \le 0 \Leftrightarrow y = 0\] [do y là số nguyên] [thỏa mãn yêu cầu đề bài]
Nếu x khác 0 và 1, ta có 2 trường hợp sau:
TH1: x + y = 1, bất phương trình \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {{x^2} - x + 1} \right] \ge 0\], luôn đúng với mọi x nguyên
TH2: x + y > 1, ta có \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left[ {{x^2} + y} \right]}}{{\ln \left[ {x + y} \right]}} \ge \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Với mỗi giá trị x nguyên, ta coi x là tham số, xét hàm số \[f\left[ y \right] = \dfrac{{\ln \left[ {{x^2} + y} \right]}}{{\ln \left[ {x + y} \right]}}\] với y > 1 – x
Ta có \[f'\left[ y \right] = \dfrac{{\dfrac{{\ln \left[ {x + y} \right]}}{{{x^2} + y}} - \dfrac{{\ln \left[ {{x^2} + y} \right]}}{{x + y}}}}{{{{\ln }^2}\left[ {x + y} \right]}} = \dfrac{{\left[ {x + y} \right]\ln \left[ {x + y} \right] - \left[ {{x^2} + y} \right]\ln \left[ {{x^2} + y} \right]}}{{\left[ {x + y} \right]\left[ {{x^2} + y} \right]{{\ln }^2}\left[ {x + y} \right]}}\]
Do hàm số \[g\left[ t \right] = t\ln t\] đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\] và \[1 < x + y < {x^2} + y\] với mọi \[x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\]nên ta có f’[y] < 0 với mọi y thỏa mãn điều kiện.
Suy ra hàm f[y] nghịch biến trên \[\left[ {1 - x; + \infty } \right]\]và \[\left[ 2 \right] \Leftrightarrow 1 - x < y < {y_0}\] [*] với y0 là nghiệm của phương trình \[f\left[ y \right] = \dfrac{{\ln \left[ {{x^2} + y} \right]}}{{\ln \left[ {x + y} \right]}} = \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}} \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {{x^2} + y} \right] = {\log _3}\left[ {x + y} \right]\] [3]
Đặt \[{\log _4}\left[ {{x^2} + {y_0}} \right] = {\log _3}\left[ {x + {y_0}} \right] = u\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y_0} = {4^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = {4^u} - {3^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right.\]
Tổng kết cả hai trường hợp, ta thấy số các số nguyên y thỏa mãn bất phương trình [1] là \[\left[ {{y_0}} \right] - \left[ {1 - x} \right] + 1 = \left[ {{y_0}} \right] + x\]
Giá trị này sẽ không vượt quá 242 khi và chỉ khi \[{y_0} + x < 243 \Leftrightarrow {3^u} < 243 \Leftrightarrow u < 5 \Leftrightarrow {4^u} - {3^u} < 781\]
[Lưu ý là các hàm số \[{3^u}\] và \[{4^u} - {3^u}\] đều đồng biến]
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
\[{x^2} - x = {4^u} - {3^u} < 781 \Leftrightarrow {x^2} - x - 781 < 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 27,45 \approx \dfrac{{1 - 25\sqrt 5 }}{2} < x < \dfrac{{1 + 25\sqrt 5 }}{2} \approx 28,45\\x e 0;x e 1\end{array} \right.\].
Kết hợp với các giá trị \[x = 0,\,\,x = 1\] ta có tất cả 56 giá trị của \[x\] thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\], biểu diễn \[P = x + y\] và \[S = xy\] theo \[t\].
- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\] [ẩn t].
- Tìm điều kiện để phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\] ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \[t\].
- Từ đó chặn khoảng giá trị của \[{x^2} + {y^2}\] và tìm các số nguyên x thỏa mãn.
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\].
Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x + y} \right]^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\]
Khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình [*] phải có nghiệm, khi đó ta có \[\Delta {'_{\left[ * \right]}} \ge 0\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{3^t}} \right]^2} - 2.\left[ {{9^t} - {4^t}} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left[ {{d_1}} \right]\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left[ C \right]\end{array} \right.\,\,\,\left[ I \right]\].
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\].
Tập hợp các cặp giá trị của \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn [I] là miền bôi đậm.
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\].
Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
21/10/2021 3,325
Chọn C
Điều kiện: x>0
Với điều kiện trên: log2x+3−1.log2x−y0log2x−y1log2x2x−1x