Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 45.
- A. \[\frac{2}{{81}}\]
- B. \[\frac{{53}}{{2268}}\]
- C. \[\frac{1}{{36}}\]
- D. \[\frac{5}{{162}}\]
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có \[n\left[ \Omega \right] = A_{10}^8 - A_9^7\].
Gọi A là tập hợp các số a có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45.
Khi đó a chia hết cho 5 và 9 [tổng các chữ số chia hết cho 9 và số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5].
Trường hợp 1: a có hàng đơn vị bằng 0; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số \[\left\{ {1;8} \right\},\left\{ {2;7} \right\},\left\{ {3;6} \right\},\left\{ {4;5} \right\}\] có 4.7! số.
Trường hợp 2: a có hàng đơn vị bằng 5; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số \[\left\{ {0;9} \right\},\left\{ {1;8} \right\},\left\{ {2;7} \right\},\left\{ {3;6} \right\}\].
* Không có bộ {0;9}, có 7! số.
* Có bộ {0;9}, có \[C_3^2\left[ {7! - 6!} \right]\] số
\[ \Rightarrow n\left[ A \right] = 4.7! + C_3^2\left[ {7! - 6!} \right]\] số
\[ \Rightarrow P\left[ A \right] = \frac{{4.7! + C_3^2\left[ {7! - 6!} \right]}}{{A_{10}^8 - A_9^7}} = \frac{{53}}{{2268}}\]
Mminhloveftu
Học sinh gương mẫu
Thành viên
15 Tháng một 20193,0982,565476Quảng TrịTrường Đời
- 14 Tháng một 2021
- #1
Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 45
Giúp mình với
Kaito Kidㅤ
Học sinh tiêu biểuThành viên
16 Tháng tám 20182,3505,14959618Hanoi University of Science and TechnologyHải PhòngTHPT Tô Hiệu
- 15 Tháng một 2021
- #2
Số cần tìm [tex]\overline{a_1a_2...a_8}[/tex]
TH1: $a_8=0$
Xét tập [tex]B=\begin{Bmatrix} 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \end{Bmatrix}[/tex]
Tổng các phần tử là 45, để số trên chia hết cho 9 cần bỏ 2 số có tổng chia hết cho 9. Nên 7 số còn lại được hình thành từ các tập:
B\{1;8} ; B\{2;7} ; B\{3;6} ; B\{4;5} : 4 trường hợp
Ứng với mỗi TH có $7!$ cách xếp
Vậy TH này có $4.7!$ cách
TH2: $a_8=5$
Xét tập [tex]C=\begin{Bmatrix} 0;1;2;3;4;6;7;8;9 \end{Bmatrix}[/tex]
Tổng các phần tử là 40, do $a_8$ chia 9 dư 5 nên tổng 7 số còn lại phải chia 9 dư 4 . Nên 7 số còn lại được hình thành từ các tập:
C\{0;9} ; C\{1;8} ;C\{2;7} ;C\{3;6}
Với C\{0;9}: 7 số còn lại có $7!$ cách xếp
Với C\{1;8} ;C\{2;7} ;C\{3;6} : 3 TH
$a_1$ có 6 cách
6 số còn lại: $6!$ cách
Vậy TH này có $7!+3.6.6!$
Vậy có $7!+3.6.6!+4.7!=38160$ số thỏa đề
Đáp án:
$\dfrac{53}{2268}$
Giải thích các bước giải:
Số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau là $\overline{abcdefgh}$
$a$ có 9 cách chọn $[a\ne 0]$
$b $ có $9$ cách chọn $b\ne a$
$c,d,...h$ có lần lượt số cách chọn là 8, 7, 6, 5, 4, 3 cách chọn
$\Rightarrow n[\Omega]=9.9.8.7.6.5.4.3=1632960$ cách
Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 45.
Chia hết cho 45 là chia hết cho 9 và 5.
Ta có 1+2+3+...+9=45 chia hết cho 9 mà từ 0 đến 9 có 10 số, như vậy ta phải bỏ ra 2 chữ số sao cho tổng của hai chữ số đó là 9 thì tổng của 8 chữ số còn lại vẫn chia hết cho 9.
$\rightarrow$ các số chia hết cho 9 và 5$\rightarrow$ các số tận cùng là 0 hoặc 5 và tổng csố chia hết cho 9.
a/ các số tận cùng là 0:
Tổng 9 csố là 45, ta cần tìm 7 csố có tổng chia hết cho 9 [để kết hợp với csố 0 thành các số thỏa yc] $\rightarrow$ loại các cặp csố $[1,8]; [2,7]; [3,6]; [4,5]\rightarrow$ số các số loại này là:$4.7!$
b/ các số tận cùng là 5: phân làm 2 tiểu trường hợp:
i/ các số không có csố 0:
Tổng 8 csố là 40, ta cần tìm 7 csố có tổng chia cho 9 dư 4 [để kết hợp với csố 5 thành các số thỏa yc] $\rightarrow$ loại csố $9\rightarrow$ số các số loại này là:$7!$
ii/ các số có csố 0:
Tổng 9 csố là 40, ta cần tìm 7 csố có tổng chia cho 9 dư 4 [để kết hợp với csố 5 thành các số thỏa yc] $\rightarrow$ loại các cặp csố $[1,8]; [2,7]; [3,6]; [4,5]\rightarrow$ số các số loại này là:$4.6.6!$