Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] \[\left[ {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right]\].
TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 \[ \Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7\].
Do đó có 1 số thỏa mãn.
TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có \[C_3^2 = 3\] cách.
- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có \[7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6\] nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có 18 số.
TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có \[C_3^1 = 3\] cách.
- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có: \[7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\].
+ Với bộ số [1;2;4] có \[3! = 6\] cách chọn 3 chữ số còn lại.
+ Với 3 bộ số còn lại có \[\dfrac{{3!}}{{2!}} = 3\] cách chọn 3 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có \[3.\left[ {6 + 3.3} \right] = 45\] số.
TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d không có chữ số nằm bằng 0.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 1 + 1 + 4\\7 = 1 + 1 + 2 + 3\\7 = 1 + 2 + 2 + 2\end{array} \right.\].
adsense
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?
A. \[
1 + 2A_{2018}^2 + 2\left[ {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right] + \left[ {C_{2017}^3 + A_{2017}^3} \right] + C_{2017}^4\]
B. \[
1 + 2C_{2018}^2 + 2C_{2018}^3 + C_{2018}^4 + C_{2018}^5\]
C. \[
1 + 2A_{2018}^2 + 2A_{2018}^3 + A_{2018}^4 + C_{2017}^5\]
D. \[
1 + 4C_{2017}^1 + 2\left[ {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right] + \left[ {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right] + C_{2017}^4\]
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
V 5=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau : Có 1 số.
Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[
C_{2017}^1\] số
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 22 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[A^2_{2017}\] số.
adsense
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^2_{2017}\] số.
Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có \[A^2_{2017}+C^2_{2017}\] số.
Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^3_{2017}\] số.
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \[C^2_{2016}\] số.
+] Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí là đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \[A^2_{2016}\] số.
Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^4_{2017}\] số.
+ TH3: số có ba chữ số. Xét bộ ba số có tổng bằng 5 là: {1, 1, 3} , {1, 2, 2} . Mỗi bộ có 3 số được tạo ra. Vậy trường hợp này có 6 số.
+ TH4: số có bốn chữ số. Xét bộ bốn số có tổng bằng 5 là: {1, 1, 1, 2} \[\Rightarrow \] có 4 số được tạo ra.