Công thức diện tích đáy hình nón

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là gì? Các bài tập mẫu về chuyên đề hình nón. Hãy cùng studytienganh tìm hiểu ngay dưới đây nhé!

1. Các công thức liên quan đến hình nón

Công thức tính diện tích xung quanh

Hình nón

Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của nhân với bán kính đáy và  đường sinh của hình nón:

Sxq = rl

Trong đó:

• Sxq là diện tích xung quanh.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• l là đường sinh của hình nón.

Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần hình nón được tính theo công thức bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy hình nón:

Stp = Sxq + Sđáy = rl + r2

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Trong đó:

• Stp là diện tích toàn phần.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• l là đường sinh.

Công thức tính thể tích hình nón

Thể tích khối nón được tính theo công thức bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của hình nón:

V = 13Sđ.h = 13r2h

Thể tích hình nón

Trong đó:

• V là thể tích hình nón.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• h là đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy của hình nón.

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:

Cho tam giác vuông OIM vuông tại I. Quay tam giác OIM quanh cạnh OI  tạo thành một hình nón tròn xoay. Góc MOI=30 và cạnh MI = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nêu trên.

Bài giải:

Ta có r = IM = a.

l=OM=IMsinIOM=2a, h=OI=OM2-IM2=a3.

Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq=rl=a.2a=2a2.

Thể tích của khối nón là: V=13r2h=13a2a3=a333.

Ví dụ 2:

Cho hình nón đỉnh O có chiều cao OI = 20 cm. Bán kính đáy r = 25 cm. Mặt phẳng đi qua đỉnh giao với hai đường sinh của hình nón tại A và B. Biết khoảng cách từ tâm I của đáy đến mặt phẳng là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Bài giải:

Theo đề bài ta có cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với A, B lần lượt là hai điểm nằm trên đường tròn đáy.

Gọi H là trung điểm AB khi đó IHAB

Mà IOAB suy ra [IOH]AB [1]

Kẻ IKOH, K nằm trên OH.

Từ [1] suy ra  IK[OAB].

Theo giả thiết IK = 12 cm.

Tam giác OIH vuông tại I nên 1IK2=1IH2=1IO2IH=OI.IKOI2-IK2=20.12202-122=15 cm.

OH=OI2+IH2=202+152=25 cm.

AH=IA2-IH2=252-152=20 cmAB=40 cm.

Diện tích thiết diện S=12OH.AB=12.25.40=500 cm2.

Ví dụ 3: 

Cho hình nón đỉnh O có bán kính đáy là a3, góc ở đỉnh là 120 độ. Tính diện tích toàn phần và thể tích của khối nón đó.

Bài giải:

Ta có r=IA=3, IOA=60 nên

l=OA=IAsin60=a332=2a, h=OI=OA2-IA2=4a2-3a2=a

Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq=rl=a3.2a=2a23.

Diện tích đáy của hình nón Sđáy=r2=3a2.

Diện tích toàn phần của hình nón là: Stp =Sxq+Sđáy=2a23+3a2=[23+3]a2.

Thể tích của khối nón là V=13r2h=133a2a=a3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình nón đỉnh S, thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân SAB có cạnh huyền bằng a2. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón đó theo a.

Đáp án: Stp=a2[1+2]2; V=a3212.

Bài 2: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón đó theo a.

Đáp án: Sxq=a2; V=a3612.

Bài 3: Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, và diện tích thiết diện qua trục đó bằng 2a2. Diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón bằng bao nhiêu theo a.

Đáp án: Sxq=2a22; V=a3223.

Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', cạnh đáy bằng a, chiều cao gấp đôi cạnh đáy. Với O’ là tâm của A’B’C’D’. C là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Đáp án: Sxq=3a22.

Bài 5: Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy hình nón đỉnh O và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho như hình vẽ. Chiều cao x của khối nón này bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất, [ 0

Bài viết sẽ chia sẻ các công thức tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón vàthể tích hình nón, khối nón, kèm ví dụ minh họa. 

Hình nón [hay còn gọi là khối nón] là một hình học không gian 3 chiều, có đáy là 1 hình tròn, đỉnh nhọn. Có thể hình dung 1 hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó một vòng.

Công thức tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh hình nón bằng của bán kính mặt đáy nhân với đường sinh và hằng số pi.

Sxp = π.r.l

Trong đó:

• Sxp: Diện tích xung quanh
• π : hằng số pi [được làm tròn là 3,14]
• l: độ dài đường sinh
• r: bán kính mặt đáy

Tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy

Stp = Sxp + Sđáy

=> Stp= π.r.l + π.r2 

Trong đó:

• Stp: Diện tích toàn phần
• Sxp: Diện tích xung quanh
• Sđáy : Diện tích đáy
• π : hằng số pi [được làm tròn là 3,14]
• l: độ dài đường sinh
• r: bán kính mặt đáy

Công thức tính thể tích khối nón

Thể tích hình nón bằng 1/3 diện tích đáy nhân với chiều cao của hình nón [khoảng cách từ tâm đến đỉnh]

Trong đó: 

• V: thể tích
• Sđáy : Diện tích đáy
• π : hằng số pi [được làm tròn là 3,14]
• r: bán kính mặt đáy
• h: chiều cao hình nón [khoảng cách từ tâm đáy tới đỉnh]

Xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy

Đường cao là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp.

Đường sinh là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của hình chóp.

Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó một vòng, nên có thể coi đường cao và bán kính đáy là 2 cạnh góc vuông của tam giác, còn đường sinh là cạnh huyền.

Do đó, khi biết đường cao và bán kính đáy, ta có thể tính được đường sinh bằng công thức:

Biết bán kính và đường sinh, tính đường cao theo công thức:

Biết đường cao và đường sinh, tính bán kính đáy theo công thức:

Ví dụ minh họa

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ có bán kính đáy là 6cm, đường cao là 8cm.

Đường sinh của hình nón:

Diện tích xung quanh:

Sxp = π.r.l = 3,14 . 6 . 10 = 188,4 [cm2]

Diện tích toàn phần:

Stp = Sxp + Sđáy = Sxp + π.r2 = 188,4 +3,14 . 62 = 301,44 [cm2]

Thể tích hình nón:

Nhìn chung, hình nón là một hình không quá phức tạp, vì vậy, nếu nắm vững các công thức cơ bản trên, bạn sẽ dễ dàng tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón.

Tham khảo thêm: