Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau F0 0 F1 = 1 f2 1 Fn f(n 1 f(n 2 với n 2 ví dụ 0 1 1 2 3))

Hãy chuyển các biểu thức trong Python dưới đây sang biểu thức toán học tương ứng

a]. a/b*2

b]. a*b*c/2

c]. 1/a*b/c 

d].  b/[a*a+b**0.5

27/09/2022 |   0 Trả lời

 viết chương trình nhập từ bàn phím 2 số nguyên dương x,y [x1] { for [int i = 2; i 0]

Ví dụ: n = 8 -> 1 1 2 3 5 8 13 21.

Program Day_Fibo;

uses crt;

var i,n,f1,f2,f3:longint;

procedure fibo[k:longint];

begin

 f1:=1;

 f2:=1;

 for i:=1 to k do

 begin

  f3:=f1+f2;

  write[f1:3,'  '];

  f1:=f2;

  f2:=f3;

 end;

end;

begin

 clrscr;

 write['Nhap n: '];readln[n];

 fibo[n];

 readln;

end.

Bài 1 [Cách 2]: Nhập vào một số N. Xuất ra tất cả các số fibonanci trong khoảng N.

VD: N = 5    -> 1        1          2          3          5

Program Bai9;

uses crt;

var a,b,c,d,i,n:integer;

begin

clrscr;

  write['Nhap vao n = '];readln[n];

  a:=1;

  b:=1;

  c:=a+b;

  write[n,' so Fibonaci dau tien la: '];

  write[1:4,1:4];

  for i:=3 to n do

    begin

      write[c:4];

      a:=b;

      b:=c;

      c:=a+b;

    end;

  writeln;

  writeln['Da xu ly xong'];

readln;

end.

  writeln['da xu ly xong'];

 readln;

end.

Bài 2: Nhập vào một số N. Xuất ra số Fibonanci thứ N

VD: N = 10    -> Số Fibonanci thứ 10 là: 55

program xuat_so_fibonanci;

uses crt;

var i,n,s,a,b:integer;

begin

clrscr;

 write['nhap vao n:='];readln[n];

  b:=1;

  i:=2;

  a:=1;

   while [i 10 = 8 +2

program tfbnc;

var i,j,n:integer;

    f:array[1..1000] of longint;

function fib[k:integer]:longint;

  begin

    f[1]:=1;

    f[2]:=1;

    f[3]:=2;

    if f[k]=-1 then f[k]:=fib[k-1]+fib[k-2];

    fib:=f[k];

  end;

begin

  write['nhap n: '];readln[n];

  write[n,'='];

  for i:=1 to 1000 do f[i]:=-1;

  while n>0 do

  begin

    i:=1;

    while fib[i]=f[j]] then

     begin

       dd[j]:=true;

       n:=n-f[j];

       tim[i+1];

       dd[j]:=false;

       n:=n+f[j];

     end;

  end;

end;

{Chuong trinh chinh}

begin

  write['nhap vao n: '];readln[n];

  f[1]:=1;

  f[2]:=1;

  i:=2;

  while [f[i] 2. {\displaystyle F[n]:=\left\{{\begin{matrix}1\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{khi }}n=1\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{khi }}n=2;\ \ \,\\F[n-1]+F[n-2]&&{\mbox{khi }}n>2.\end{matrix}}\right.}

Lịch sử

Dãy số Fibonacci được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực.

Henry Dudeney [1857 - 1930] [là một nhà văn và nhà toán học người Anh] nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự.

Thế kỉ XIX, nhà toán học Edouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci.

Những bài toán mở đầu

2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.

Bài toán số con thỏ

Một đôi thỏ [gồm một thỏ đực và một thỏ cái] không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con [gồm một thỏ đực và một thỏ cái] mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm [tháng Giêng] có một đôi thỏ sơ sinh

Trong hình vẽ trên, ta quy ước:

• Cặp thỏ xám là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
• Cặp thỏ được đánh dấu [màu đỏ và màu xanh] là cặp thỏ có khả năng sinh sản.

Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:

• Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
• Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
• Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
• Tháng Năm: có hai đôi thỏ [đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba] cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
• Tháng Sáu: có ba đôi thỏ [2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư] cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.

Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f[n] là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:

• Với n = 1 ta được f[1] = 1.
• Với n = 2 ta được f[2] = 1.
• Với n = 3 ta được f[3] = 2.

Do đó với n > 2 ta được: f[n] = f[n-1] + f[n-2].

Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f[n - 2].

Số các "cụ tổ" của một con ong đực

Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau: [Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính]. Giả sử rằng:

• Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
• Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
• Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.

Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:

• Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ [1 ong cái].
• Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố [đực] và một ong mẹ [cái][2 con ong: 1 đực+ một cái]].
• Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố [đực] và một ong mẹ [cái], và con đực thế hệ n-2 có một mẹ [3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái]
• Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ [5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái]

Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.

Kết luận

Như vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f[n] xác định:

• f[0]= 0.
• f[1]= 1.
• f[2]= 1.
• f[n]= f[n-1] +f[n-2] với n > 2.

Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci.

Các phần tử đầu tiên của dãy

Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:

Quan hệ với tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng φ {\displaystyle \varphi }

chính là số φ = [ 1 + 5 ] 2 ≈ 1.618 033 989 {\displaystyle \varphi ={\frac {[1+{\sqrt {5}}]}{2}}\approx 1.618\,033\,989}

Công thức dạng tường minh

Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.

Ta sẽ chứng minh [công thức Binet]:

Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:

sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng

[là phương trình đa thức đặc trưng của hồi quy].

Chứng minh

Chứng minh [bằng quy nạp]:

Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chất x 2 = x + 1 , {\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,}

Chú ý rằng, theo định nghĩa φ {\displaystyle \varphi } là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là 1 − φ {\displaystyle 1-\varphi }

Bây giờ định nghĩa hàm:

Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:

Bây giờ chọn a = 1 / 5 {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}}

và

những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng

Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của a , b {\displaystyle a,b}

Giới hạn của thương kế tiếp

Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:

Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ [0, 0].

Từ công thức tường minh, ta có, với mọi a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}

vì thế, như dễ dàng thấy, | 1 − φ φ | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right| 1. {\displaystyle F_{n}:=F[n]:={\begin{cases}b&{\mbox{khi }}n=0;\\a&{\mbox{khi }}n=1;\\F[n-1]+F[n-2]&{\mbox{khi }}n>1.\\\end{cases}}}

trong đó dấu "+" ký hiệu cho phép ghép hai xâu.

Hãy viết giải thuật [đệ quy hoặc phi đệ quy] tính độ dài xâu.

Hãy cho biết giá trị của chuỗi với n = 7

Dãy các xâu Fibonacci khởi đầu là:

Độ dài của mỗi xâu Fibonacci chính là số Fibonacci, và có một xâu Fibonacci tương ứng với mỗi số Fibonacci.

Các xâu Fibonacci cung cấp dữ liệu vào cho các minh dụ cho một vài thuật toán máy tính.

Số Fibonacci trong tự nhiên

Thực vật

Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci.

Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, Họ Mao lương có 5 cánh, phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.

Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21.

Xem thêm

• Số đối-Fibonacci
• Số dẻo
• Số Padovan
• Số Perrin

Chú thích

Tham khảo

1. ^ Dijkstra, Edsger W. [1978], In honour of Fibonacci [PDF]
2. ^ Weisstein, Eric W., "Fibonacci Prime" từ MathWorld.
3. ^ Honsberger, Ross [1985], “Mathematical Gems III”, AMS Dolciani Mathematical Expositions [9]: 133, ISBN 978-0-88385-318-4
4. ^ Cohn, J. H. E. [1964], “On square Fibonacci numbers”, The Journal of the London Mathematical Society, 39: 537–540, doi:10.1112/jlms/s1-39.1.537, MR 0163867
5. ^ Pethő, Attila [2001], “Diophantine properties of linear recursive sequences II”, Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis, 17: 81–96
6. ^ Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S [2006], “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers”, Ann. Math., 2 [163]: 969–1018, arXiv:math/0403046, Bibcode:2004math......3046B, doi:10.4007/annals.2006.163.969, S2CID 10266596

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming, third edition [1997]

Liên kết ngoài

• Hrant Arakelian, Mathematics and History of the Golden Section. Logos [2014], 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, [rus.] 

Tiếng Việt

Tiếng Anh

• Alexey Stakhov, Museum of Harmony and Golden Section Lưu trữ 2019-04-05 tại Wayback Machine, [undated, 2005 or earlier].
• Subhash Kak, The Golden Mean and the Physics of Aesthetics, Archive of Physics, [2004].
• Ron Knott, The Golden Section: Phi Lưu trữ 2006-12-05 tại Wayback Machine, [2005].
• Ron Knott, Representations of Integers using Fibonacci numbers Lưu trữ 2007-10-30 tại Wayback Machine, [2004].
• Bob Johnson, Fibonacci resources Lưu trữ 2008-12-31 tại Wayback Machine, [2004]
• Donald E. Simanek, Fibonacci Flim-Flam, [undated, 2005 or earlier].
• Rachel Hall, Hemachandra's application to Sanskrit poetry Lưu trữ 2012-07-16 tại Wayback Machine, [undated; 2005 or earlier].
• Alex Vinokur, Computing Fibonacci numbers on a Turing Machine Lưu trữ 2005-02-06 tại Wayback Machine, [2003].
• [no author given], Fibonacci Numbers Information Lưu trữ 2005-08-29 tại Wayback Machine, [undated, 2005 or earlier].
• Wikisource, Table of first 1000 Fibonacci numbers, [2005].
• Fibonacci Numbers and the Golden Section Lưu trữ 2007-02-07 tại Wayback Machine - Ron Knott's Surrey University multimedia web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string.
• The Fibonacci Association Lưu trữ 2005-10-01 tại Wayback Machine incorporated in 1963, focuses on Fibonacci numbers and related mathematics, emphasizing new results, research proposals, challenging problems, and new proofs of old ideas.
• Dawson Merrill's Fib-Phi link page.
• Fibonacci primes

Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Dãy_Fibonacci&oldid=69129123”