Đề bài
\[A\left[ { - 1;1} \right]\] và \[B\left[ {2;4} \right]\] là hai điểm của parabol \[y = {x^2}\]. Xác định điểm \[C\] thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại \[C\] với parabol song song với đường thẳng \[AB\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3;3} \right]\] nên \[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left[ {1; - 1} \right]\] là VTPT của \[AB\].
\[ \Rightarrow AB:1\left[ {x + 1} \right] - 1\left[ {y - 1} \right] = 0\] hay \[x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = x + 2\]
Do đó \[AB:y = x + 2\] có hsg \[{k_{AB}} = 1\]
Ta có: \[y' = 2x\].
Gọi \[C\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là tiếp điểm.
Tiếp tuyến tại \[C\] song song với \[AB\] nên \[y'\left[ {{x_0}} \right] = {k_{AB}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x_0} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {y_0} = {\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow C\left[ {\dfrac{1}{2};\frac{1}{4}} \right]\end{array}\]
Vậy \[C\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}} \right]\].