Đề bài
Cho điểm P ở ngoài đường tròn [O]. Vẽ đường tròn tâm [P] bán kính PO. Hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OP cắt đường tròn [P] tại điểm thứ hai C.
a] Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] Lấy điểm D thuộc cung BCA của đường tròn [P]. Chứng minh DO là phân giác của \[\widehat {ADB}\] .
c] Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn [O]. Chứng minh AI là phân giác của \[\widehat {BAD}\] .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh AC vuông góc với OA tại A.
b] Sử dụng định lítrong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau], chứng minh \[\widehat {ODA} = \widehat {ODB}\].
c] Chứng minh BI là phân giác của \[\widehat {ABE}\].
Lời giải chi tiết
a] Xét đường tròn \[\left[ P \right]\] có \[\widehat {OAC} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow AC \bot OA\] tại A.
\[ \Rightarrow CA\]là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] Ta có \[OA = OB \Rightarrow cung\,OA = cung\,OB\] [hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {ODB}\] [trong đường tròn \[\left[ P \right]\], hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau].
Vậy DO là phân giác của \[\widehat {ADB}\].
c] Gọi E là giao điểm của BD và đường tròn \[\left[ O \right]\].
Chứng minh tương tự ta có CB là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\].
\[ \Rightarrow \widehat {CBE} = \widehat {BAE}\] [Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE của \[\left[ O \right]\]].
Mà \[\widehat {CBE} = \widehat {CAD}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn \[\left[ P \right]\]]
\[ \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CAD} \]
\[\Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {CAD} + \widehat {EAD}\]
\[\Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {EAD}\] [1].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\\\widehat {EAD} + \widehat {AED} + \widehat {ADE} = {180^0}\end{array}\] [tổng ba góc của tam giác].
Mà \[\widehat {BAC} = \widehat {EAD}\,\,\left[ {cmt} \right];\,\,\widehat {ACB} = \widehat {ADE}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của \[\left[ O \right]\]]
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AED}\] [2].
Ta có: OA = OB; PA = PB \[ \Rightarrow PO\] là trung trực của AB [điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thuộc trung trực của đoạn thẳng đó]
Mà \[C \in PO \Rightarrow CA = CB \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại C \[ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ABC}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] \[ \Rightarrow \widehat {EAD} = \widehat {AED}\] \[ \Rightarrow \Delta AED\] cân tại D.
\[ \Rightarrow \] Phân giác DO đồng thời là trung trực của AE.
Mà [hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau].
Xét đường tròn [O] có: [trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau] \[ \Rightarrow \] BI là phân giác của \[\widehat {ABE}\].
Xét tam giác ABD có:
DO là phân giác của \[\widehat {ADB}\].
BI là phân giác của \[\widehat {ABE}\].
\[DO \cap BI = I\]
\[ \Rightarrow AI\] là phân giác của \[\widehat {BAD}\,\,\left[ {dpcm} \right]\].