Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[AB.\] Qua điểm \[C\] thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \[d\] của đường tròn. Gọi \[E\] và \[F\] lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến \[B\] đến \[d.\] Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[C\] đến \[AB.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[CE = CF;\]
\[b]\] \[AC\] là tia phân giác của góc \[BAE;\]
\[c]\] \[CH^2 = AE.BF\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Ta có: \[OC d\] [ tính chất tiếp tuyến]
\[AE d\;\; [gt]\]
\[BF d \;\;[gt]\]
Suy ra: \[OC // AE // BF \;\;[*]\]
Mà \[OA = OB [=R]\]
Suy ra: \[ CE = CF\] [tính chất đường thẳng song cách đều]
\[b]\] Ta có: \[AE // OC\] [theo \[[*]\]]
Suy ra: \[\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\] [ hai góc so le trong] \[[1]\]
Ta có: \[OA = OC [=R]\]
Suy ra: \[OAC\] cân tại \[O\] \[ \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\]
Vậy \[AC\] là tia phân giác của góc \[OAE\] hay \[AC\] là tia phân giác của góc \[BAE.\]
\[c]\] Tam giác \[ABC\] nội tiếp trong đường tròn \[[O]\] có \[AB\] là đường kính nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] có \[CH AB.\]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[C{H^2} = HA.HB\;\; [3]\]
Xét hai tam giác \[ACH\] và \[ACE,\] ta có:
+] \[\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]
+] \[CH = CE\] [tính chất đường phân giác]
+] \[AC\] chung
Suy ra: \[ACH = ACE\] [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra:\[AH = AE\;\;[4]\]
Xét hai tam giác \[BCH\] và \[BEF,\] ta có:
+] \[\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \]
+] \[CH = CF [= CE]\]
+] \[BC \] chung
Suy ra: \[BCH = BCF\] [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: \[BH = BF \;\;[5]\]
Từ \[[3],\] \[[4]\] và \[[5]\] suy ra: \[C{H^2} = AE.BF\]