Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng nếu \[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\] thì tam giác \[ABC\] là tam giác vuông tại \[C\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình bình hành \[CADB\].
- Sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc trừ véc tơ để nhận xét độ dài các véc tơ.
Lời giải chi tiết
Vẽ hình bình hành \[CADB\]. Ta có \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} \], do đó \[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD\]
Vì \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \], Do đó \[\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right| = BA\].
Từ \[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\] suy ra \[CD = AB\]
Vậy tứ giác \[CADB\] là hình chữ nhật. Ta có tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\].