Đề bài
Giải phương trình \[\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \[\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\] và \[\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\] để biến đổi phương trình.
Sử dụng công thức nhân đôi.
Sử dụng công thức \[{\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\].
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \[\sin x\ne 0\] và \[\cos x\ne 0\] \[\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\]
\[\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1\]
Ta có: \[\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{\cos}^2 x-{\sin}^2 x}{\sin x\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{\sin 2x}{2}}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \]
\[\Leftrightarrow 2\cos 2x+4{\sin}^2 2x=2\]
\[\Leftrightarrow 2\cos 2x+4[1-{\cos}^2 2x]=2\]
\[\Leftrightarrow 4{\cos}^2 2x-2\cos 2x+2=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=1\text{[loại]}\\\cos 2x=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\].
Cách khác:
Đặt t = tanx
Điều kiện t 0
Phương trình đã cho có dạng