Đề bài
Cho biểu thức : \[P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{2 - \sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}} \right]:\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right]\]
a] Tìm giá trị của x để P có nghĩa rồi rút gọn P.
b] Tìm x để \[\dfrac{1}{P} \le - \dfrac{5}{2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Quy đồng mẫu các phân thức.
+] Biến đổi và rút gọn biểu thức.
b] Với giá trị của biểu thức P vừa rút gọn được, giải bất phương trình \[\dfrac{1}{P} \le - \dfrac{5}{2}\] tìm x.
+] Đối chiếu với điều kiện của x rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
a] Điều kiện:
\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 5\sqrt x + 6 \ne 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\2 - \sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\\x \ne 4\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l}P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{2 - \sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}} \right]:\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right]\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}} + \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}} \right]:\dfrac{{2\sqrt x + 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right] - \left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}:\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4}}.\end{array}\]
b] Điều kiện: \[x \ge 0,\;\;x \ne 4,\;\;x \ne 9.\]
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{1}{P} \le - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x + 1}} \le - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{5}{2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 8 + 5\sqrt x + 5}}{{2\left[ {\sqrt x + 1} \right]}} \le 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5\sqrt x - 3 \le 0\;\;\;\;\left[ {do\;\;2\left[ {\sqrt x + 1} \right] > 0} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ {2\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - 1 \le 0\;\;\;\left[ {\sqrt x + 3 > 0} \right]\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{4}.\end{array}\]
Kết hợp với điều kiện \[x \ge 0,\;\;x \ne 4,\;\;x \ne 9\] ta được \[0 \le x \le \dfrac{1}{4}.\]
Vậy \[0 \le x \le \dfrac{1}{4}.\]