Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\] với \[AB = 1, AD = x\; [x > 0]\] và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \].
a] Tính diện tích toàn phần \[S\] của hình tạo thành khi quay hình bình hành \[ABCD\] đúng một vòng quanh cạnh \[AB\] và diện tích toàn phần \[S_1\]của hình tạo thành khi quay quanh cạnh \[AD\].
b] Xác định giá trị \[x\] khi \[S = S_1\]và \[S = 2S_1\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[ l\] là đường sinh].
- Diện tích xung quanh hình trụ: \[{S_{xq}}= 2πrh\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao].
Lời giải chi tiết
a] Khi quay hình bình hành \[ABCD\] một vòng quanh cạnh \[AB\] thì cạnh \[AD\] và \[BC\] vạch nên \[2\] hình nón bằng nhau có đường sinh \[AD = BC = x,\] cạnh \[CD\] vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.
Trong \[AHD\] có \[\widehat {AHD} = 90^\circ ;\widehat A = 60^\circ \], ta có:
\[DH = AD. \sin 60^o= \displaystyle x.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{x\sqrt 3 } \over 2}\]
Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh \[2\] hình nón và diện tích xung quanh hình trụ: \[S = {S _{\text{xq trụ}}} + 2{S _\text{xq nón}}\]
\[\eqalign{
& S = 2\pi DH.DC + 2.\pi DH.AD \cr
& \;\;\;= 2\pi {{x\sqrt 3 } \over 2}.1 + 2.\pi .{{x\sqrt 3 } \over 2}.x \cr
& \;\;\;= \pi x\sqrt 3 + \pi {x^2}\sqrt 3 \cr} \]
\[\Rightarrow S = \pi x\sqrt 3 [1 + x]\]
Khi quay hình bình hành quanh trục \[AD\] một vòng thì cạnh \[AB\] và \[DC\] vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh \[AB = CD = 1.\] Cạnh \[BC\] vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.
Bán kính đáy: \[\displaystyle BH = AB. \sin 60^o = 1.{{\sqrt 3 } \over 2}={{\sqrt 3 } \over 2}\]
\[S_1\] là diện tích toàn phần hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón cộng với diện tích hình trụ.
\[S_1 = {S _{\text{xq trụ}}} + 2{S _\text{xq nón}}\]
\[{S_1} = 2\pi .BH.BC + 2.\pi .BH.AB\]
\[S_1\displaystyle = 2\pi. {{\sqrt 3 } \over 2}.x + 2.\pi .{{\sqrt 3 } \over 2}.1\]
\[{S_1} = \pi \sqrt 3 [x + 1]\]
b] Để \[S = S_1\] \[\Leftrightarrow \pi x\sqrt 3 [1 + x] = \pi \sqrt 3 [x + 1] \]
\[\Leftrightarrow x[1 + x] = x + 1\]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 1} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow [x + 1][x - 1] = 0\]
Vì \[x > 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0\]
\[\Rightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy \[x=1\] thì\[S = S_1\].
Để \[S = 2S_1\] \[\Leftrightarrow \pi x\sqrt 3 [1 + x] = 2\pi \sqrt 3 [x + 1] \]
\[\Leftrightarrow x[x + 1] = 2[x + 1]\]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {x + 1} \right] - 2\left[ {x + 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow [x + 1][x - 2] = 0\]
Vì \[x > 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0\]
\[\Rightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\].
Vậy \[x=2\] thì\[S = 2S_1\].