Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Gọi \[G\] và \[H\] tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm \[A',B',C'\]lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC, CA, AB\].
a] Tìm phép vị tự \[F\] biến \[A, B, C\] tương ứng thành \[A',B',C'\]
b] Chứng minh rằng \[O, G, H\] thẳng hàng.
c] Tìm ảnh của \[O\] qua phép vị tự \[F\]
d] Gọi \[A, B, C\] lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \[AH, BH, CH\]; \[A_1, B_1, C_1\]theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia \[AH, BH, CH\] với đường tròn \[[O]\];\[A_1',B_1',C_1'\]tương ứng là chân các đường cao đi qua \[A, B, C\]. Tìm ảnh của \[A, B, C\],\[A_1, B_1, C_1\]qua phép vị tự tâm \[H\] tỉ số \[{1 \over 2}\]
e] Chứng minh chín điểm \[A',B',C'\],\[A, B, C\],\[A_1',B_1',C_1'\]cùng thuộc một đường tròn [đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác \[ABC\]]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Dựa vào định nghĩa phép vị tự và tính chất trọng tâm của tam giác.
b] Chứng minh hai vectơ\[\overrightarrow {GO} ;\,\,\overrightarrow {GH} \] cùng phương.
c]Dựa vào định nghĩa phép vị tự.
d] Sử dụng tính chất của phép vị tự: Ảnh của đường tròn qua phép vị tự là 1 đường tròn.
Lời giải chi tiết
a] Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\].
Vậy phép vị tự tâm \[G\] tỉ số \[k = - {1 \over 2}\]biến \[A, B, C\] thành \[A, B, C\].
b] \[A\] là trung điểm của dây \[BC\] nên \[OA BC\]
Ta lại có \[BC // CB \Rightarrow OA BC \]. Tương tự \[B'O \bot A'C'\]
\[\] Trong tam giác \[ABC\],\[A'O \bot B'C',B'O \bot A'C'\] nên\[O\] là trực tâm của \[ABC\].
\[H\] là trực tâm của \[ABC\] và \[O\] là trực tâm của \[ABC\] nên \[O\] là ảnh của \[H\] trong phép vị tự tâm \[G\], tỉ số\[k = - {1 \over 2} \Rightarrow \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \]
\[\] Ba điểm \[O, G, H\] thẳng hàng.
c] Gọi \[{V_{\left[ {G; - {1 \over 2}} \right]}[O]=O'}\]ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \Rightarrow \overrightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right] \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \]
Suy ra \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OH\].
d] Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr
& \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr
& \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \]
Vậy \[A, B, C\] là ảnh của các điểm \[A, B, C\] trong phép vị tự \[{V_{\left[ {H;{1 \over 2}} \right]}}\].
Ta dễ dàng chứng minh được \[A_1',B_1',C_1'\]theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \[H{A_1},H{B_1},H{C_1}\]nên:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \]
Như vậy \[A_1',B_1',C_1'\]theo thứ tự là ảnh của các điểm \[A_1,B_1, C_1\]trong phép vị tự \[{V_{\left[ {H;{1 \over 2}} \right]}}\]
e] Gọi \[A_2, B_2, C_2\]theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \[A, B, C\] qua tâm \[O\] của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \[BHCA_2\]là hình bình hành, do đó \[H\] và \[A_2\] đối xứng qua \[A\], ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \]
Như vậy, các điểm \[A, B, C\] theo thứ tự là ảnh của các điểm \[A_2, B_2, C_2\]trong phép vị tự \[{V_{\left[ {H;{1 \over 2}} \right]}}\].
Từ đó ta có:
Chín điểm \[A, B,C,A, B,C\], \[A_1',B_1',C_1'\]theo thứ tự là ảnh của các điểm \[A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\]trong phép tự vị \[{V_{\left[ {H;{1 \over 2}} \right]}}\]mà chín điểm \[A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\]nằm trên đường tròn \[[O]\] nên chín điểm \[A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\] nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \[[O]\] trong phép vị tự\[{V_{\left[ {H;{1 \over 2}} \right]}}\]