Đề bài
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a] \[\widehat {BAC} = {90^0}\]
b] \[\widehat {BAC} = {60^0}\]và \[b = c\]
c] \[\widehat {BAC} = {120^0}\]và \[b = c\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng tâm hình cầu [giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA]
- Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
\[\widehat {BAC} = {90^0}\]. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC
Và \[{r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {[{a \over 2}]^2} + {[{b \over 2}]^2} + {[{c \over 2}]^2}\]
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \[r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
b] \[\widehat {BAC} = {60^0}\] và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC và r2= OA2= OI2+ IA2
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có
\[{r^2} = {[{a \over 2}]^2} + {[{2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2}]^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\]. Vậy \[r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \]
c] \[\widehat {BAC} = {120^0}\] và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có: OS = OA = OB = OC và\[{r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {[{a \over 2}]^2} + {b^2}\]
Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính\[r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \]