Đề bài
Các điểm \[M[2; 3]; N[0; -4]; P[-1; 6]\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[BC, CA, AB\] của tam giác \[ABC\]. Tọa độ của đỉnh \[A\] là:
a] \[[1; 5]\] b] \[[-3; -1]\]
c] \[[-2; -7]\] d] \[[1; -10]\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Cách 1:
M, N là trung điểm BC, CA nên MN là đường trung bình của tam giác.
\[ \Rightarrow MN= \frac{1}{2}AB\] và \[MN//AB\] \[\Rightarrow MN//AP\]
Mà \[AP = \frac{1}{2}AB \Rightarrow AP = MN\].
Do đó \[APMN\] là hình bình hành
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {NM} \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_P} - {x_A} = {x_M} - {x_N}\\
{y_P} - {y_A} = {y_M} - {y_N}
\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 - {x_A} = 2 - 0\\
6 - {y_A} = 3 - \left[ { - 4} \right]
\end{array} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = - 3\\
{y_A} = - 1
\end{array} \right.\]
Cách 2:
Trung tuyến \[AM\] cắt \[PN\] tại \[I\] thì \[I\] là trung điểm của \[PN\] nên \[I[ - {1 \over 2}; 1]\]và \[I\] cũng là trung điểm của \[AM\].
\[\Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_A} + {x_M} = 2{x_I} \hfill \cr
{y_A} + {y_M} = 2{y_I} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_A} = 2{x_I} - {x_M} = - 3 \hfill \cr
{y_A} = 2{y_I} - {y_M} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A[-3, -1] \] chọn B.
Cách 3:
M là trung điểm BC nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 2{x_M} = 4\\{y_B} + {y_C} = 2{y_M} = 6\end{array} \right.\]
N là trung điểm CA nên ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 2{x_N} = 0\\{y_C} + {y_A} = 2{y_N} = - 8\end{array} \right.\]
P là trung điểm của AB nên ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_P} = - 2\\{y_A} + {y_B} = 2{y_P} = 12\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = - 2\\{x_B} + {x_C} = 4\\{x_C} + {x_A} = 0\end{array} \right.\]ta được xA= -3
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = 12\\{y_B} + {y_C} = 6\\{y_C} + {y_A} = - 8\end{array} \right.\]ta được \[{y_A}= -1\]
Vậy \[A[3 ; 1]\].