Đề bài
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[a\]. Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định sai:
A. \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\]
B. \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\]
C. \[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\]
D. \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{2}{a^2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tích vô hướng \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\].
Lời giải chi tiết
Đáp án A: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} \] \[ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\] \[ = a.a.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}{a^2}\]
A đúng.
Đáp án B: \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \]\[ = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right]\] \[ = a.a.\cos {120^0} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\]
B đúng.
Đáp án C: Tam giác \[ABC\] đều nên chiều cao \[AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\] và \[AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
Do đó \[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \] \[ = \left| {\overrightarrow {GA} } \right|.\left| {\overrightarrow {GB} } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right]\] \[ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^0} = - \dfrac{{{a^2}}}{6}\]
C sai.
Chọn C.