Đề bài
Gọi \[S\] là diện tích và \[R\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng \[S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí sin để tính a, b, c:
\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\]
Thay vào công thức tính diện tích tam giác \[S = \frac{{abc}}{{4R}}\]
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = 2R\\
\frac{b}{{\sin B}} = 2R\\
\frac{c}{{\sin C}} = 2R
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2R\sin A\\
b = 2R\sin B\\
c = 2R\sin C
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thay vào công thức tính diện tích tam giác \[ABC\] .
Ta có
\[\eqalign{
& S = {{abc} \over {4R}} \cr&= {{[2R\sin A].[2R\sin B].[2R\sin C]} \over {4R}} \cr
&= \frac{{8{R^3}\sin A\sin B\sin C}}{{4R}}\cr&= 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \]