Đề bài
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] thoả mãn điều kiện: Với mọi \[n \in N*\] thì \[0 < {u_n} < 1\] và \[{u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\]
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \[{u_{n + 1}}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right] < {u_n}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right]\] và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Vì \[0 < {u_n} < 1\] với mọi \[n\] nên \[1 - {u_{n + 1}} > 0.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương \[{{u_{n + 1}}}\] và \[1-{{u_{n + 1}}}\]ta có:
\[\sqrt {{u_{n + 1}}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right]} \le \frac{{{u_{n + 1}} + \left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right]}}{2} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow {u_{n + 1}}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right] \le \dfrac{1}{4}.\] [1]
Mặt khác, từ giả thiết
\[{u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\] suy ra \[{u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\] hay \[\dfrac{1}{4} < {u_n}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right].\] [2]
So sánh [1] và [2] ta có: \[{u_{n + 1}}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right] < {u_n}\left[ {1 - {u_{n + 1}}} \right]\] hay \[{u_{n + 1}} < {u_n}.\]
Vậy dãy số đã cho giảm.