Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \[ABIJ, BCPQ, CARS\]. Chứng minh rằng\[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc ba điểm tùy ý \[A, \, \, B, \, \, C\] ta luôn có:
\[+ ]\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \] [quy tắc ba điểm].
\[ + ]\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \] [quy tắc trừ].
Lời giải chi tiết
Ta xét tổng:
\[[\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS}]+ [\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}] \]
\[=\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\]
\[\begin{array}{l}
= \left[ {\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right] + \left[ {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right] + \left[ {\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right]\\
= \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\
= \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR}
\end{array}\]
\[= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\][1]
Mặt khác, ta có \[ABIJ, BCPQ\] và \[CARS\] là các hình bình hành nên:
\[\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}\]
\[\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}\]
\[\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\]\[= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra :
\[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}\]\[= \overrightarrow{0}.\] [đpcm]
Cách khác:
Ta có:
AJIB là hình bình hành nên \[\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \]
Tương tự như vậy:
BCPQ là hình bình hành nên \[\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \]
CARS là hình bình hành nên \[\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \]
Do đó: