Đề bài
Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất về cạnh và đường cao của tam giác cân.
Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[ABC\] cân tại \[A\] có \[AH \bot BC,\]\[AH = 5,BK \bot AC,BK = 6.\]
Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra \[HB = HC = \displaystyle{1 \over 2}BC\] [tính chất tam giác cân]
\[\eqalign{
& {S_{ABC}} = \displaystyle {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}BK.AC \cr
& = {1 \over 2}.5.BC = {1 \over 2}.6.AC \cr} \]
Suy ra: \[5BC = 6AC \Rightarrow BC = \displaystyle{6 \over 5}AC\,[1]\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ACH\], ta có:
\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {5^2} + \displaystyle {\left[ {{{BC} \over 2}} \right]^2}\]\[ = 25 + \displaystyle{{B{C^2}} \over 4}\,[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[A{C^2} = 25 + {\displaystyle {{{36A{C^2}} \over {25}}} \over 4}\]\[ =\displaystyle {{2500} \over {100}} + {{36A{C^2}} \over {100}}\]
Suy ra:
\[100A{C^2} = 2500 + 36A{C^2}\]
\[ \Leftrightarrow 64A{C^2} = 2500 \Leftrightarrow 8AC = 50\]\[ \Rightarrow AC = 6,25\]
Vậy \[BC = \displaystyle {6 \over 5}.6,25 = 7,5.\]