Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính các tích phân sau:
LG a
a] \[\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\]
Phương pháp giải:
Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x\,\,khi\,\,x \le 1\\x - 1\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\]
\[= \int_0^1 {[1 - x]} dx + \int_1^2 {[x - 1]} dx\]
\[ = \left. {\left[ {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1 + \left. {\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right]} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\]
LG b
b] \[\int_0^{{\pi \over 2}} \sin ^2xdx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc:\[{\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 - \cos 2x} \right]dx} \\= \dfrac{1}{2}\left. {\left[ {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4}\end{array}\]
LG c
c] \[\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\]
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức:\[\int\limits_{}^{} {{e^{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {\left[ {{e^{2x + 1 - x}} + {e^{ - x}}} \right]dx} \\= \int\limits_0^{\ln 2} {\left[ {{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right]dx} \\= \left. {\left[ {{e^{x + 1}} - {e^{ - x}}} \right]} \right|_0^{\ln 2}\\= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^{ - \ln 2}} - \left[ {e - 1} \right]\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
= {e^{\ln 2}}.{e^1} - {\left[ {{e^{\ln 2}}} \right]^{ - 1}} - e + 1\\
= 2.e - {2^{ - 1}} - e + 1\\
= 2e - \frac{1}{2} - e + 1\\
= e + \frac{1}{2}
\end{array}\]
LG d
d] \[\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc:\[{\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\sin 2x\cos ^ 2x = \sin 2x\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\\\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\\\Rightarrow \int\limits_0^\pi {\sin 2x\cos ^2xdx} = \int\limits_0^\pi {\left[ {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x} \right]dx} \\= \left. {\left[ { - \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{{16}}\cos 4x} \right]} \right|_0^\pi \\= - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}} - \left[ { - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}}} \right] = 0\end{array}\]