Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\] trong đó \[AB \bot AC,AB \bot B{\rm{D}}\]. Gọi \[P\]và \[Q\]lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\]. Chứng minh rằng \[AB\]và \[PQ\]vuông góc với nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Kiểm tra tích vô hướng \[\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB}=0\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
\[\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {DQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Cộng từng vế [1]và [2]ta có:
\[2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]
Suy ra \[2\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} .\overrightarrow {AB} = 0\]
Hay \[\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\], tức là \[PQ \bot AB\].