Đề bài
Lập phương trình của mặt phẳng \[[\alpha ]\] đi qua điểm M[1; 2; 3] và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \[A,B,C\].
- Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.
Lời giải chi tiết
Gọi giao điểm của \[[\alpha ]\] với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0 ; c]
[a, b, c > 0].
Mặt phẳng \[[\alpha ]\] có phương trình theo đoạn chắn là: \[\left[ \alpha \right]:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\][1]
Do \[[\alpha ]\] đi qua M[1; 2; 3] nên ta thay tọa độ của điểm M vào [1]: \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\]
Thể tích của tứ diện OABC là \[V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC\] \[ = \dfrac{1}{6}abc\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \[1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \] \[\Rightarrow 1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\]
\[\Rightarrow abc \ge 27.6\Rightarrow V \ge 27\]
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất \[\Leftrightarrow V = 27\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \] \[\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\]
Vậy phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\] thỏa mãn đề bài là:
\[\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\] hay \[6x + 3y + 2z 18 = 0\].