Đề bài
Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN.
Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc điểm O trên đường thẳng MN
a] Chứng minh rằng OH = a, HM = AN, HN = BN.
b] Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng [Bx'; By]. Chứng minh BK là phân giác của góc x'By.
C. Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai tia Ax và By sao cho AM + BN = MN.
a] Kéo dài MA một đoạn AP = BN, ta có MP = MN và OP = ON.
Do đó ΔOMP = ΔOMN [c.c.c]
OA = OH nên OH = a.
Ta suy ra HM = AM và HN = BN.
b] Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng [Bx, By] ta có:
HK // MM với K NM.
Khi đó \[\dfrac{{KM'}}{{KN}} = \dfrac{{HM}}{{HN}} = \dfrac{{AM}}{{BN}} = \dfrac{{BM'}}{{BN}}\]
Do đó đối với tam giác BNM đường thẳng BK là phân giác của góc [x'By] .
c] Gọi [β] là mặt phẳng [AB, BK].
Vì HK // AB nên HK nằm trong mặt phẳng [β] và do đó H thuộc mặt phẳng [β].
Trong mặt phẳng [β] ta có OH = a.
Vậy điểm H luôn luôn nằm trên đường tròn cố định, đường kính AB và nằm trong mặt phẳng cố định [β] = [AB, BK]