Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau:
a] \[\left[ {\dfrac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right]^2} = 1\] với \[a \ge 0\] và \[a \ne 1\]
b] \[\dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}.\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|\] với \[a + b > 0\] và \[b \ne 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
+ \[\sqrt{A^2}=|A|\].
+ \[|A|=A \] nếu \[A \ge 0\],
\[|A|=-A\] nếu \[A < 0\].
+ Sử dụng các hằng đẳng thức: \[a^2+2ab+b^2=[a+b]^2;\] \[a^2- b^2=[a+b].[a-b];\] \[a^3- b^3=[a-b][a^2+ab+b^2]\].
Lời giải chi tiết
a] \[\left[ {\dfrac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right]^2}\]\[ = \left[ {\dfrac{{1 - {{\left[ {\sqrt a } \right]}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]\left[ {1 + \sqrt a } \right]}}} \right]^2}\] \[ = \left[ {\dfrac{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]\left[ {1 + \sqrt a + a} \right]}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right]^2}\]
\[ = \left[ {1 + 2\sqrt a + a} \right] \cdot {\left[ {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right]^2}\]
\[ = \dfrac{{{{\left[ {1 + \sqrt a } \right]}^2}}}{{{{\left[ {1 + \sqrt a } \right]}^2}}}\]
\[ = 1\]
Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.
b] Biến đổi vế trái, ta có :
\[\dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}.\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|\] với \[a + b > 0\] và \[b \ne 0\]
\[ = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{{\left[ {a{b^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}} \]
\[ = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}} \cdot \dfrac{{\left| {a{b^2}} \right|}}{{ {a + b} }}\]
\[ = \dfrac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{{b^2}}} = \left| a \right|\]
Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.