Đề bài
Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm \[P.\] Gọi các giao điểm khác \[P\] của hai trong ba đường tròn đó là \[A, B, C.\] Từ một điểm \[D\] [khác điểm \[P\]] trên đường tròn \[[PBC]\] kẻ các tia \[DB, DC\] cắt các đường tròn \[[PAB]\] và \[[PAC]\] lần lượt tại \[M, N.\] Chứng minh ba điểm \[M, A, N\] thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^\circ.\]
+] Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \[ \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=180^\circ\] thì \[A,B,C\] thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Gọi ba đường tròn tâm \[O_1,O_2,O_3.\]
\[[O_1]\] cắt \[[O_2]\] tại \[A;\] \[[O_1]\] cắt \[[O_3]\] tại \[B.\]
\[[O_2]\] cắt \[[O_3]\]tại \[C.\] Suy ra \[D\] là điểm nằm trên đường tròn\[[O_3].\]
\[BD\] cắt \[[O_1]\]tại \[M,\] \[DC\] cắt \[[O_2]\]tại \[N.\]
Nối \[PA, PB, PC,\] \[MA, NA.\]
Ta có tứ giác \[APBM\] nội tiếp trong đường tròn\[[O_1].\]
Nên \[\widehat {MAP} + \widehat {MBP} = 180^\circ \][tính chất tứ giác nội tiếp]
Mà \[\widehat {MBP} + \widehat {PBD} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {MAP} = \widehat {PBD}\] \[ [1]\]
Ta có: Tứ giác \[APCN\] nội tiếp trong đường tròn\[[O_2]\]
Nên \[\widehat {NAP} + \widehat {NCP} = 180^\circ \][tính chất tứ giác nội tiếp]
Mà \[\widehat {NCP} + \widehat {PCD} = 180^\circ \] [hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {NAP} = \widehat {PCD}\] \[ [2]\]
Tứ giác \[BPCD\] nội tiếp trong đường tròn\[[O_3]\]
\[ \Rightarrow \widehat {PBD} + \widehat {PCD} = 180^\circ \][tính chất tứ giác nội tiếp] \[[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[\widehat {MAP} + \widehat {NAP} = 180^\circ \]
Vậy ba điểm \[M, A, N\] thẳng hàng.