Đề bài
Cho ba hàm số:
\[y = \dfrac{1}{2}{x^2};\ y = {x^2};\ y = 2{x^2}\].
a] Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b] Tìm ba điểm \[A,\ B,\ C\] có cùng hoành độ \[x = -1,5\] theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.
c] Tìm ba điểm \[A',\ B',\ C'\] có cùng hoành độ \[x = 1,5\] theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của \[A\] và \[A'\], \[B\] và \[B'\], \[C\] và \[C'\].
d] Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của \[x\] để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Cách vẽ đồ thị hàm số \[y=ax^2\].
Bước 1: Xác định các điểm \[[1; a]\] và \[[2; 4a]\] và các điểm đối xứng của chúng qua \[Oy\].
Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc \[O[0;0]\] và các điểm trên.
+] Thay hoành độ \[x=x_0\] vào hàm số \[y=ax^2\] ta tìm được tung độ \[y\] tương ứng.
+] Áp dụng tính chất: Nếu \[a > 0\] thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và \[O\] là điểm thấp nhất của đồ thị.
Lời giải chi tiết
a] +] Vẽ đồ thị hàm số \[y = \dfrac{1}{2}{x^2}\]
Cho \[x=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\]. Đồ thị đi qua \[{\left[1; \dfrac{1}{2} \right]}\].
Cho \[x=-1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\].Đồ thị đi qua \[{\left[-1; \dfrac{1}{2} \right]}\].
Cho \[x=2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}. 2^2=2\]. Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[2; 2]\].
Cho \[x=-2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.[-2]^2=2\].Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[-2; 2]\].
Đồ thị hàm số \[y=\dfrac{1}{2}x^2\] là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.
+] Vẽ đồ thị hàm số \[y=x^2\].
Cho \[x=1 \Rightarrow y=1\]. Đồ thị đi qua \[[1; 1]\].
Cho \[x=-1 \Rightarrow y=[-1]^2\].Đồ thị đi qua \[[-1; 1]\].
Cho \[x=2 \Rightarrow y=2^2=4\]. Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[2; 4]\].
Cho \[x=-2 \Rightarrow y=[-2]^2=4\].Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[-2; 4]\].
Đồ thị hàm số \[y=x^2\] là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.
+] Vẽ đồ thị hàm số \[y=2x^2\].
Cho \[x=1 \Rightarrow y=2.1^2=2\]. Đồ thị đi qua \[[1; 2]\].
Cho \[x=-1 \Rightarrow y=2.[-1]^2\].Đồ thị đi qua \[[-1; 2]\].
Cho \[x=2 \Rightarrow y=2.2^2=8\]. Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[2; 8]\].
Cho \[x=-2 \Rightarrow y=2.[-2]^2=8\].Đồ thị hàm số đi qua điểm \[[-2; 8]\].
Đồ thị hàm số \[y=2x^2\] là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.
b]
Xác định điểm P trên trục Ox có hoành độ \[x = - 1,5\]. Qua P kẻ đường thẳng song song với trục Oy, nó cắt các đồ thị \[y = \dfrac{1}{2}{x^2};y = {x^2};y = 2{x^2}\] lần lượt tại \[A;B;C\]
Gọi \[{y_A},{y_B},{y_C}\] lần lượt là tung độ các điểm \[A,\ B,\ C\]. Ta có:
\[\eqalign{
& {y_A} = {1 \over 2}{[ - 1,5]^2} = {1 \over 2}.2,25 = 1,125 \cr
& {y_B} = {[ - 1,5]^2} = 2,25 \cr
& {y_C} = 2{[ - 1.5]^2} = 2.2,25 = 4,5 \cr} \]
c] Xác định điểm \[P'\] trên trục Ox có hoành độ \[x = 1,5\]. Qua \[P'\] kẻ đường thẳng song song với trục Oy, nó cắt các đồ thị \[y = \dfrac{1}{2}{x^2};y = {x^2};y = 2{x^2}\] lần lượt tại \[A';B';C'\]
Gọi \[{y_{A'}},{y_{B'}},{y_{C'}}\]lần lượt là tung độ các điểm \[A', B', C'\] . Ta có:
\[\eqalign{
& {y_{A'}} = {1 \over 2}{[1,5]^2} = {1 \over 2}.2,25 = 1,125 \cr
& {y_{B'}} = {[1,5]^2} = 2,25 \cr
& {y_{C'}} = 2{[1.5]^2} = 2.2,25 = 4,5 \cr} \]
Kiểm tra tính đối xứng: \[A\] và \[A'\], \[B\] và \[B'\], \[C\] và \[C'\] đối xứng với nhau qua trục tung \[Oy\].
d] Với mỗi hàm số đã cho ta đều có hệ số \[a > 0\] nên O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Vậy với \[x = 0\] thì các hàm số trên đều có giá trị nhỏ nhất \[y=0.\]