Đề bài
Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:
\[f[x] = a{\rm{[[x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{]^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\]
Hay \[af[x] = {a^2}[{[x + {b \over {2a}}]^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\]
Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:
f[x] = a[x x1][x x2] hay af[x] = a2[x x1][x x2]
trong đó, x1và x2là hai nghiệm của tam thức bậc hai f[x].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\\= a\left[ {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right]\\
= a\left[ {{x^2} + 2.\frac{b}{{2a}}.x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right]\\
= a\left[ {{{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]}^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\\
= a\left[ {{{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\\
\Rightarrow af\left[ x \right] = {a^2}\left[ {{{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]
\end{array}\]
+ Nếu Δ < 0 thì \[- \frac{\Delta }{{4{a^2}}} > 0 \] \[\Rightarrow {a^2}\left[ {{{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] > 0 \] \[\Rightarrow af\left[ x \right] > 0\]với mọi x R, tức f[x] cùng dấu với a với mọi x R
+ Nếu Δ = 0 thì \[af[x] = {a^2}{[x + {b \over {2a}}]^{^2}}\]khi đó af[x] > 0 với mọi \[x \ne - {b \over {2a}}\].
+ Nếu Δ > 0 thì f[x] có hai nghiệm phân biệt x1và x2và:
f[x] = a[x x1][x x2]
Do đó: af[x] = a2[x x1][x x2]
Vậy af[x] có cùng dấu với tích [x x1][x x2].
Dấu của tích này được cho trong bảng sau [x1< x2]
Và af[x] > 0 với mọi x < x1hoặc x > x2