- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Giải phương trình sau:
LG a
\[\cos \left[ {{\pi \over 7} - 3x} \right] = - {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\cos \left[ {\frac{\pi }{7} - 3x} \right] = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \left[ {3x - \frac{\pi }{7}} \right] = \cos \left[ {\frac{{5\pi }}{6}} \right]\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - \frac{\pi }{7} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
3x - \frac{\pi }{7} = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{{41\pi }}{{42}} + k2\pi \\
3x = - \frac{{29\pi }}{{42}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{41\pi }}{{126}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = - \frac{{29\pi }}{{126}} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {{41\pi } \over {126}} + k{{2\pi } \over 3},x = -{{29\pi } \over {126}} + k{{2\pi } \over 3}\]
LG b
\[6\tan \left[ {2x - {\pi \over 3}} \right] = - 2\sqrt 3 \]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
6\tan \left[ {2x - \frac{\pi }{3}} \right] = - 2\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \tan \left[ {2x - \frac{\pi }{3}} \right] = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\Leftrightarrow \tan \left[ {2x - \frac{\pi }{3}} \right] = \tan \left[ { - \frac{\pi }{6}} \right]\\
\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over {12}} + k{\pi \over 2}\]
LG c
\[2{\cos ^2}x - {\sin ^2}x - 4\cos x + 2 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Quy về phương trình bậc hai đối với \[\cos x\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
2{\cos ^2}x - {\sin ^2}x - 4\cos x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] - 4\cos x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 4\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 1\\
\cos x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pm \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = 2k\pi ,x = \pm\arccos \frac{1}{3} + 2k\pi \].
LG d
\[9{\sin ^2}x - 5{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Quy về phương trình bậc hai đối với \[\sin x\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
9{\sin ^2}x - 5{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow 9{\sin ^2}x - 5\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] - 5\sin x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow 14{\sin ^2}x - 5\sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = - \frac{1}{7}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \arcsin \left[ { - \frac{1}{7}} \right] + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \left[ { - \frac{1}{7}} \right] + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
LG e
\[\cos 2x + {\sin ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Quy về phương trình bậc hai đối với \[\cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\cos 2x + {\sin ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {\cos x + 1} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \cos x = - 1\\
\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi
\end{array}\]
Vậy \[x = \pi + 2k\pi \]
LG f
\[3\cos 2x + 2[1 + \sqrt 2 + \sin x]\sin x\]\[ - 3 - \sqrt 2 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Viết lại phương trình như sau:
\[\eqalign{
& 3\left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right] + 2{\sin ^2}x \cr&+ 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\sin x - 3 - \sqrt 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\sin x + \sqrt 2 = 0 \cr} \]
Lời giải chi tiết:
\[3\cos 2x + 2[1 + \sqrt 2 + \sin x]\sin x \]\[- 3 - \sqrt 2 = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 3\left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right] + 2{\sin ^2}x\cr&+ 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\sin x - 3 - \sqrt 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\sin x + \sqrt 2 = 0 \cr} \]
Đặt \[t = \sin x\] ta được:
\[4{t^2} - 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]t + \sqrt 2 = 0\] [*]
Có \[\Delta ' = {\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]^2} - 4\sqrt 2 \] \[ = 3 - 2\sqrt 2 = {\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]^2}\]
Do đó phương trình [*] có nghiệm:
\[\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1}}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\{t_2} = \frac{{1 + \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}}{4} = \frac{1}{2}\end{array}\]
Suy ra
\[\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]
Vậy\[x = {\pi \over 6} + 2k\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + 2k\pi ,\] \[x = {\pi \over 4} + 2k\pi ,x = {{3\pi } \over 4} + 2k\pi \].