Đề bài
Chứng minh rằng hàm số
\[y = {\rm{sign}}x = \left\{ \matrix{
1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0{\rm{ }} \hfill \cr
0,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x = 0 \hfill \cr
- 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\] không có đạo hàm tại x = 0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hàm số không liên tục tại \[x=0\] và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - 1} \right] = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right]\end{array}\]
Do đó không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right]\] nên hàm số không liên tục tại \[x = 0\].
Do đó không có đạo hàm tại \[x = 0\].