Đề bài
Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \[y = {x \over 3}\] với đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \[\sqrt {10} \]
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \[y = {x \over 3}\] đi qua các điểm \[E[-3 ; -1]\] và \[F[3 ; 1]\]
Chỉ có đoạn thẳng \[EF\] của đường thẳng đó nằm trong dải \[\left\{ {\left[ {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right]| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\][dải này chứa đồ thị của hàm số \[y = \sin x\]].
Vậy các giao điểm của đường thẳng \[y = {x \over 3}\] với đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] phải thuộc đoạn \[EF\].
Mọi điểm của đoạn thẳng này cách \[O\] một khoảng không dài hơn \[OE=OF=\sqrt {3^2 + 1^2} = \sqrt {10} \]
Rõ ràng \[E, F\] không thuộc đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] nên khoảng cách từ các giao điểm đến O nhỏ hơn \[\sqrt {10}\].