Đề bài
Chứng tỏ rằng với \[x \ne 0\] và \[x \ne \pm a\] [\[a\] là một số nguyên], giá trị của biểu thức
\[\left[ {a - \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right].\left[ {\dfrac{{2a}}{x} - \dfrac{{4a}}{{x - a}}} \right]\] là một số chẵn.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác \[0\].
- Chứng tỏ biểu thức có giá trị dạng \[2k\] [\[k\] là một số nguyên]
Lời giải chi tiết
Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là: \[x \ne 0,x \ne \pm a\] [ \[a\] là một số nguyên]
Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {a - {{{x^2} + {a^2}} \over {x + a}}} \right].\left[ {{{2a} \over x} - {{4a} \over {x - a}}} \right] \cr
& = {{a\left[ {x + a} \right] - \left[ {{x^2} + {a^2}} \right]} \over {x + a}}.{{2a\left[ {x - a} \right] - 4a.x} \over {x\left[ {x - a} \right]}} \cr
& = {{ax + {a^2} - {x^2} - {a^2}} \over {x + a}}.{{2ax - 2{a^2} - 4ax} \over {x\left[ {x - a} \right]}} \cr
& = {{ax - {x^2}} \over {x + a}}.{{ - 2{a^2} - 2ax} \over {x\left[ {x - a} \right]}} \cr
& = {{x\left[ {a - x} \right]} \over {x + a}}.{{2a\left[ { - a - x} \right]} \over {x\left[ {x - a} \right]}} \cr
& = {{x\left[ {a - x} \right].2a\left[ { - a - x} \right]} \over {x\left[ {x + a} \right]\left[ {x - a} \right]}} \cr& = {{x\left[- {[x - a]} \right].[-2a\left[ { x+a} \right]]} \over {x\left[ {x + a} \right]\left[ {x - a} \right]}} \cr
& = {{2ax\left[ {x - a} \right]\left[ {a + x} \right]} \over {x\left[ {x + a} \right]\left[ {x - a} \right]}} = 2a \cr} \]
Vì \[a\] là số nguyên nên \[2a\] là số chẵn.
Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.