Cho đường tròn \[[C_1]\] tâm \[O_1\], bán kính \[R_1\]và đường tròn \[[C_2]\] tâm \[O_2\], bán kính \[R_2\]. Biết đường tròn \[[C_2]\] nằm trong đường tròn \[[C_1]\] và tâm hai đường tròn không trùng nhau [h.84]. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn tiếp xúc ngoài với \[[C_2]\] và tiếp xúc trong với \[[C_1]\].
Đề bài
Cho đường tròn \[[C_1]\] tâm \[O_1\], bán kính \[R_1\]và đường tròn \[[C_2]\] tâm \[O_2\], bán kính \[R_2\]. Biết đường tròn \[[C_2]\] nằm trong đường tròn \[[C_1]\] và tâm hai đường tròn không trùng nhau [h.84]. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn tiếp xúc ngoài với \[[C_2]\] và tiếp xúc trong với \[[C_1]\].
Lời giải chi tiết
[h.109].
Xét đường tròn \[[C]\] tâm \[O\], tiếp xúc trong với \[[C_1]\] tại \[M\], tiếp xúc ngoài với \[[C_2]\] tại \[N\]. Ta có:
\[O{O_1} + O{O_2}\]
\[= {O_1}M - OM + {O_2}N + ON \]
\[= {R_1} + {R_2}\] không đổi.
Tập hợp các tâm \[O\] là elip có các tiêu điểm là \[O_1, O_2\]và độ dài trục lớn \[2a=R_1+R_2\].