Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình thoi cạnh \[a\] và có \[SA = SB = SC = a\]. Chứng minh rằng:
a] Mặt phẳng \[[ABCD]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBD]\];
b] Tam giác \[SBD\] là tam giác vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[AC \bot \left[ {SBD} \right]\].
b] Chứng minh tam giác SBD có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]
Theo tính chất của hình thoi thì \[O\] là trung điểm của \[AC,BD\]
Xét tam giác cân \[SAC\] cân tại \[S\] có \[SO\] vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \[SO\bot AC\] [1]
Mặt khác \[ABCD\] là hình thoi nên \[AC\bot BD\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AC\bot [SBD]\]
\[AC\subset [ABCD]\Rightarrow [ABCD]\bot [SBD]\]
b] \[SAC = BAC [c.c.c]\]
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \[SO = BO\]
\[O\] là trung điểm của \[BD\] nên \[OB=OD\]
\[ \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\]
Tam giác \[SBD\] có trung tuyển \[SO = \dfrac{1}{2}BD\] nên vuông tại \[S\]. [đpcm]
Cách khác:
Tam giác \[SOC\] vuông tại \[O\] nên theo Pi-ta-go ta có:
\[S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\]
Tam giác \[BOC\] vuông tại \[O\] nên theo Pi-ta-go ta có:
\[B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\]
\[ \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\]
Tam giác \[SBD\] có trung tuyển \[SO = \dfrac{1}{2}BD\] nên vuông tại \[S\]. [đpcm]