Đề bài
Trong không gian cho hai hình vuông \[ABCD\] và \[ABC'D'\] có chung cạnh \[AB\] và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm \[O\] và \[O'\]. Chứng minh rằng \[AB OO'\] và tứ giác \[CDD'C'\] là hình chữ nhật.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OO'} = 0\], sử dụng công thức\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]}\]
+] Chứng minh CDD'C' là tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau và có 1 góc vuông.
Lời giải chi tiết
\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}.[\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO}]\]
\[=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}\]
\[= AB.AO'.\cos45^{0} -AB.AO.\cos45^{0}\]
\[= 0\].
Vậy \[AB OO'\].
\[\left\{ \begin{array}{l}CD//C'D'\\CD = C'D'\end{array} \right. \Rightarrow CDD'C'\] là hình bình hành [Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau].
Xét tam giác \[ACC'\] có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác nên \[OO'//CC'\].
Mà \[AB//CD\] và\[AB OO'\] nên \[CDCC'\].
\[\RightarrowCDD'C'\] là hình chữ nhật [Hình bình hành có 1 góc vuông].