Đề bài
Tìm những điểm trên elip \[[E]: \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1\] thỏa mãn
a] Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.
b] Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
c] Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \[60^0\].
Lời giải chi tiết
\[{a^2} = 9 \Rightarrow a = 3 ;\] \[ {b^2} = 1 \Rightarrow b = 1 ; \] \[ {c^2} = {a^2} - {b^2} = 8 \Rightarrow c = 2\sqrt 2 \].
Elip \[[E]\] có các tiêu điểm: \[{F_1}[ - 2\sqrt 2 ; 0] , {F_2}[2\sqrt 2 ; 0]\].
a] Gọi \[M[x ; y] \in [E]\] là điểm cần tìm. Khi đó:
\[\begin{array}{l}M{F_1} = 2M{F_2} \\ \Leftrightarrow a + ex = 2[a - ex] \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{3e}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3c}} = \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}.\\M \in [E]\\ \Rightarrow {y^2} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{9}\\ = 1 - \dfrac{9}{{9.8}} = \dfrac{7}{8} \\ \Rightarrow y = \pm \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}.\end{array}\]
Có hai điểm cần tìm là \[\left[ { \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} ; \pm \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}} \right]\].
b] Gọi \[N[x ; y] \in [E]\] là điểm cần tìm. Khi đó:
\[\overrightarrow {{F_1}N} = \left[ {x + 2\sqrt 2 ; y} \right] , \] \[ \overrightarrow {{F_2}N} = \left[ {x - 2\sqrt 2 ; y} \right]\].
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}N} \bot \overrightarrow {{F_2}N} \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}N} .\overrightarrow {{F_2}N} = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ {x + 2\sqrt 2 } \right]\left[ {x - 2\sqrt 2 } \right] + {y^2} = 0\\\Leftrightarrow {x^2} - 8 + {y^2} = 0[1]\\N \in [E] \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1. [2]\end{array}\]
Giải [1] và [2] ta được \[{x^2} = \dfrac{{63}}{8} \]và \[{y^2} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow x = \pm \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\] và \[y = \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\].
Có bốn điểm cần tìm là : \[\left[ { \pm \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} ; \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right]\].
c] Gọi \[P[x ; y] \in [E] \] là điểm cần tìm. Ta có:
\[\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 \\= {F_1}{P^2} + {F_2}{P^2} - 2{F_1}P.{F_2}P.\cos {60^0}\\ = {[{F_1}P + {F_2}P]^2} - 2.{F_1}P.{F_2}P - 2{F_1}P.{F_2}P. \dfrac{1}{2}\\= 4{a^2} - 3{F_1}P.{F_2}P \\= 4{a^2} - 3[a + ex][a - ex]\\ = 4{a^2} - 3[{a^2} - {e^2}{x^2}] \\= {a^2} + 3{e^2}{x^2}.\end{array}\]
Như vậy
\[\begin{array}{l}4{c^2} = {a^2} + 3. \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} \\ \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{[4{c^2} - {a^2}].{a^2}}}{{3{c^2}}}\\ = \dfrac{{[4.8 - 9].9}}{{3.8}} = \dfrac{{69}}{8}\\\Rightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }}.\\P \in [E] \Rightarrow {y^2} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{9} \\= 1 - \dfrac{{23}}{{24}} = \dfrac{1}{{24}} \Rightarrow y = \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}.\end{array}\]
Có bốn điểm cần tìm với tọa độ là \[\left[ { \pm \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }} ; \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}} \right]\].