Đề bài
Từ điểm M ở ngoài đường tròn [O], kẻ cát tuyến MAB [ A nằm giữa hai điểm M và B] và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi H là giao điểm của OM và CD.
a] Chứng minh : MC2 = MA.MB.
b] Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Chứng minh\[MAC\]đồng dạng\[MCB\]
b.Sử dụng:
+Đường trung trực của đoạn thẳng
+Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
+Tam giác đồng dạng
Chứng minh tứ giác AHOB có 1 góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện
Lời giải chi tiết
a] Xét \[MAC\] và \[MCB\] có:
+] \[\widehat M\] chung,
+] \[\widehat {MCA} = \widehat {MBC}\] [ góc giữa tiếp tuyến một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AC]
Do đó \[MAC\]đồng dạng\[MCB\] [g.g]
\[ \Rightarrow\dfrac {{MA} }{ {MC}} =\dfrac {{MC}}{{MB}} \]
\[\Rightarrow MA.MB = M{C^2}\;\;\;\;[1]\]
b] Dễ thấy MO là đường trung trực của đoạn CD [ vì \[OC = OD = R, MC = MD\]] nên \[MO \bot CD\] tại H.
Trong tam giác vuông MCO có CH là đường cao.
Ta có : \[MO.MH = MC^2\;\;\; [2]\] [ hệ thức lượng trong tam giác vuông ]
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow MA.MB = MO.MH\].
Do đó \[MAH\] đồng dạng \[MOB\] [g.g] \[\Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {MBO}\] chứng tỏ tứ giác AHOB nội tiếp.