Đề bài
Cho tam giác \[AB = 6cm,\] \[AC = 4,5cm,\]\[ BC = 7,5cm.\]
a] Chứng minh tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Tính các góc \[\widehat B,\widehat C\] và đường cao \[AH\] của tam giác.
b]Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[{S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng định lí Pi-ta-go đảo và tỉ số lượng giác.
b] Dựa vào diện tích của các hình tam giác \[ABC\] và \[MBC\] để biện luận.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[A{B^2} = {6^2} = 36\]
\[A{C^2} = 4,{5^2} = 20,25\]
\[B{C^2} = 7,{5^2} = 56,25\]
Vì \[A{B^2} + A{C^2} = 36 + 20,25\]\[ = 56,25 = B{C^2}\] nêntam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] [ theo định lí Pi-ta-go đảo].
Kẻ \[AH \bot BC\]. Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[AH.BC=AB.AC\]\[\Leftrightarrow AH = \displaystyle {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.4,5} \over {7,5}} = 3,6\,[cm]\]
Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông, ta có: \[\sin \widehat C = \displaystyle {{AC} \over {BC}} = {{4,5} \over {7,5}} = 0,6\]
Suy ra: \[\widehat C = 53^\circ 8'\]
Ta có:
\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ\] [vì tam giác ABC vuông tại A]
\[\Rightarrow \widehat B = 90^\circ - \widehat C\]\[ = 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\]
b] Tam giác \[ABC\] và tam giác \[MBC\] có chung cạnh đáy \[BC\], đồng thời \[{S_{ABC}} = {S_{MBC}}\]nên khoảng cách từ \[M\] đến \[BC\] bằng khoảng cách từ \[A\] đến \[BC\]. Vậy \[M\] thay đổi cách \[BC\] một khoảng bằng \[AH\] nên \[M\] nằm trên hai đường \[x\] và \[y\] song song với \[BC\] cách \[BC\] một khoảng bằng \[AH\].