Đề bài
Chứng minh rằng hàm số\[y=\sqrt{\left | x \right |}\]không có đạo hàm tại \[x = 0\] nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính giới hạn trái, giới hạn phải của \[ \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{x - {x_0}}}\] khi \[x \to x_0\], từ đó suy ra không tồn tại đạo hàm tại \[x=x_0\].
- Chứng minh \[f[x]\ge f[0]\] với mọi \[x\in R\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}y = f\left[ x \right] = \sqrt {\left| x \right|} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,khi\,\,x \ge 0\\\sqrt { - x} \,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{{0^ + }} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{{ - {{\left[ {\sqrt { - x} } \right]}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt { - x} }} = - \infty \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]}}{{x - 0}}
\end{array}\]
\[\Rightarrow\] Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại \[x = 0\].
Dễ thấy \[f[x]=\sqrt {\left| x \right|}\ge 0\] với mọi \[x\in R\] và \[f[0]=0\] nên \[x=0\] chính là điểm cực tiểu của hàm số.